Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y=mx²+nx相交于A（1，3$\sqrt{3}$），B（4，0）兩點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S_△BCN、S_△PMN滿足S_△BCN=2S_△PMN，求出$\frac{MN}{NC}$的值，并求出此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）分D在x軸上和y軸上，當D在x軸上時，過A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當D點在y軸上時，設出D點坐標為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點坐標；
（3）過P作PF⊥CM于點F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函數，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設BC=a，則可用a表示出CN，再利用S_△BCN=2S_△PMN，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得$\frac{MN}{NC}$的值；借助a可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點的坐標．

解答 解：
（1）∵A（1，3$\sqrt{3}$），B（4，0）在拋物線y=mx²+nx的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3\sqrt{3}}\\{16m+4n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\sqrt{3}}\\{n=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x；
（2）存在三個點滿足題意，理由如下：
當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵A（1，3$\sqrt{3}$），
∴D坐標為（1，0）；
當點D在y軸上時，設D（0，d），則AD²=1+（3$\sqrt{3}$-d）²，BD²=4²+d²，且AB²=（4-1）²+（3$\sqrt{3}$）²=36，
∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，
∴AD²+BD²=AB²，即1+（3$\sqrt{3}$-d）²+4²+d²=36，解得d=$\frac{3\sqrt{3}±\sqrt{11}}{2}$，
∴D點坐標為（0，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$）或（0，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}$）；
綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$）或（0，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}$）；
（補充方法：可用A，B點為直徑作一個圓，圓與坐標軸的交點即為答案）
（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴$\frac{MF}{PF}$=$\frac{AD}{OD}$=3$\sqrt{3}$，
∴MF=3$\sqrt{3}$PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，設BC=a，則CN=$\sqrt{3}$a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=$\frac{PF}{FN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FN=$\sqrt{3}$PF，
∴MN=MF+FN=4$\sqrt{3}$PF，
∵S_△BCN=2S_△PMN，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=2×$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$PF²，
∴a=2$\sqrt{2}$PF，
∴NC=$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{6}$PF，
∴$\frac{MN}{NC}$=$\frac{4\sqrt{3}PF}{2\sqrt{6}PF}$=$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$NC=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$a，
∴MC=MN+NC=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a，
∴M點坐標為（4-a，（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a），
又M點在拋物線上，代入可得-$\sqrt{3}$（4-a）²+4$\sqrt{3}$（4-a）=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a，
解得a=3-$\sqrt{2}$或a=0（舍去），
OC=4-a=$\sqrt{2}$+1，MC=2$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，
∴點M的坐標為（$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、勾股定理、相似三角形的判定和性質、點與函數圖象的關系及分類討論等．在（2）中注意分點D在x軸和y軸上兩種情況，在（3）中分別利用PF表示出MF和NC是解題的關鍵，注意構造三角形相似．本題涉及知識點較多，計算量較大，綜合性較強，特別是第（3）問，難度很大．