Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，若sin∠ADB的值是一元二次方程25x²-35x+12=0的一個(gè)根．
（1）求AD、AB的值．
（2）若EC+CF=8，S_△AEF=48時(shí)，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）用十字相乘法因式分解求出方程的根，由正弦值求出AB的長，由勾股定理求出AD的長．（2）設(shè)EC的長為y，由s_△AEF=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，得到關(guān)于y的一元二次方程，先求出y，再用勾股定理求出EF的長．
解答：解：（1）（5x-3）（5x-4）=0
∴x₁=，x₂=．
∵AD＞AB，∴x==，∴AB=BD=×20=12．
AD===16．
故AD=16，AB=12．

（2）設(shè)EC=y，則CF=8-y，BE=16-y，DF=12-（8-y）=4+y，
S_△AEF=12×16-×12×（16-y）-×16×（4+y）-y（8-y）=48
方程整理得：
y²-12y+32=0
（y-4）（y-8）=0
∴y₁=4，y₂=8．
當(dāng)y=4時(shí)，EF==4．
當(dāng)y=8時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，此時(shí)EF=8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）題用十字相乘法因式分解求出方程的根，再結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理求出AD和AB的長．（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，再用勾股定理求出線段的長．