Question

6．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，點A關于BE的對稱點為G（G在矩形ABCD內部），連接BG并延長交CD于F．
（1）如圖1，當AB=AD時，
①根據(jù)題意將圖1補全；
②直接寫出DF和GF之間的數(shù)量關系．
（2）如圖2，當AB≠AD時，如果點F恰好為DC的中點，求$\frac{AD}{AB}$的值．
（3）如圖3，當AB≠AD時，如果DC=nDF，寫出求$\frac{AD}{AB}$的值的思路（不必寫出計算結果）．

Answer 1

分析 解：（1）①根據(jù)題意作出圖形即可；
②連接EG，EF，根據(jù)矩形的性質得到∠BAD=∠D=90°，由點A關于BE的對稱點為G，得到AE=EG，由E是AD的中點，等量代換得到DE=EG，推出Rt△DEF≌Rt△GEF，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，連接EF，EG，由四邊形ABCD是矩形，得到∠A=∠D=∠C=90°，由點A關于BE的對稱點為G，得到EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，推出Rt△EGF≌Rt△EDF，根據(jù)全等三角形的性質得到GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y，根據(jù)勾股定理列方程得到y(tǒng)=2$\sqrt{2}$x，于是得到結論；
（3）根據(jù)題意寫出解題思路即可．

解答 解：（1）①如圖1；
②連接EG，EF，
在矩形ABCD中，
∵∠BAD=∠D=90°，
∵點A關于BE的對稱點為G，
∴AE=EG，
∵E是AD的中點，
∴A=DE，
∴DE=EG，
在Rt△DEF與Rt△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=GE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF，
∴DF=GF；

（2）如圖2，連接EF，EG，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵E是AD的中點，
∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，
∵點A關于BE的對稱點為G，
∴EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，
∴EG=ED，∠EGF=∠D=90°，
∵EF=EF，
在Rt△DEF與Rt△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=GE}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y，
∵F是DC的中點，
∴DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x，
在Rt△BCF中，∠C=90°，
由勾股定理得BC²+CF²=BF²，
即y²+x²=（3x）²，
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{2x}$=$\sqrt{2}$；

（3）求$\frac{AD}{AB}$的值的思路如下：
a．如圖3，連接EF和EG，由（2）可知GF=DF；
b設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y，由DC=nDF，可用含有n和x的代數(shù)式表示BF；
c．利用勾股定理，用含有n和x的代數(shù)式表示y；
d計算出結果（$\frac{2\sqrt{n}}{n}$）．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，勾股定理，矩形的性質，證得Rt△EGF≌Rt△EDF是解題的關鍵．