Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB=26cm，CD=24cm，AD=8cm，有兩個動點P和Q，點P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移動，點Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移動．
①問時間t經(jīng)過幾秒時，BCPQ為平行四邊形？
②問時間t經(jīng)過幾秒時，BCPQ為等腰梯形？
③PQ與以AD為直徑的圓O相切？相離？相交？

Answer 1

解：①∵四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴BQ=CP，
∴24-t=3t，
t=6，
答：時間t經(jīng)過6秒時，BCPQ為平行四邊形．

②解：過C作CN⊥AB于N，過P作PM⊥BQ于M，
即∠BNC=∠PMQ=90°，CN∥PM，
∵AB∥CD，
∴四邊形CNMP是平行四邊形，
∴CN=PM，CP=MN，
∵四邊形BCPQ是等腰梯形，
∴BC=PQ，∠B=∠BQP，
∵在△BCN和△QPM中
，
∴△BCN≌△QPM，
∴BN=MQ=26-24=2，
即2+2+24-t=3t，
t=7，
答：時間t經(jīng)過7秒時，BCPQ為等腰梯形．

③解：過P作PE⊥AB于E，

∵直角梯形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∴BA切⊙O于A，CD切⊙O于D，
設(shè)PQ切⊙O于F，
∴由切線長定理得：QA=QF=26-3t，DP=PF=t
則PQ=26-3t+t=26-2t，
∵∠A=∠D=∠PEA=90°，
∴四邊形PEAD是矩形，
∴AD=PE=8，AE=PD=t，
∴QE=26-3t-t=26-4t，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得：PE²+QE²=PQ²，
即8²+（26-4t）²=（26-2t）²，
解得：t₁=8，t₂=．
∴當(dāng)t是8秒或秒時，PQ與以AD為直徑的圓O相切；當(dāng)t＜秒或t＞8秒時，PQ與以AD為直徑的圓O相交；當(dāng)秒＜t＜8秒時，PQ與以AD為直徑的圓O相離．
分析：①根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出BQ=CP，代入得出方程24-t=3t，求出即可；
②過C作CN⊥AB于N，過P作PM⊥BQ于M，得出矩形CPMN，推出CN=PM，CP=MN，求出BN=MQ=2，根據(jù)BN+MN+QM=3t，代入求出即可；
③過P作PE⊥AB于E，得出矩形ADPE，推出AE=DP，AD=PE，根據(jù)切線長定理得長PQ=QA+PD=26-2t，在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理得出一個關(guān)于t的方程，求出方程的解即可．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，直線與圓的位置關(guān)系等知識點，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．