Question

5．如圖，邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，cosA=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，以A為圓心，AP為半徑的⊙A與邊AD交于點(diǎn)E，射線CE與⊙A另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AP=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）是否存在一點(diǎn)P，使得$\widehat{EF}$=2$\widehat{PE}$？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得到∠AEF=DAB，再利用cos∠DAB=cos∠AEF=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{3}{5}$即可求解；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到∠CGD=∠BAD，再利用勾股定理即可求解；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)得到∠GCE=∠HAE=∠DAB，利用cosA=$\frac{3}{5}$計(jì)算即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，
∴EF=2EH，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
∴EF∥AB，
∴∠AEF=DAB，
∴cos∠DAB=cos∠AEF=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∵AE=5，
∴EH=3，
∴EF=6；
（2）如圖，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，
在Rt△CGD中，cos∠CDG=cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴DG=3，CG=4，
在Rt△CGE中，GE=8-x，
∴y²=16+（8-x）²，
y=$\sqrt{{x}^{2}-16x+80}$（0＜x≤5），
（3）∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，
∵∠GCE=∠HAE=∠DAB，
∴tan∠DAB=$\frac{8-x}{4}$=$\frac{4}{3}$，
∴x=$\frac{8}{3}$，
即：AP的長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．