Question

【題目】如圖，點(diǎn)A是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），將線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC、BC、CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．

（1）線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．

（2）當(dāng)t=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上？求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（4）設(shè)△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）AB=2AC，AB⊥AC；

（2）CF=1；

（3）當(dāng)t=﹣2時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣1+）；

（4）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)， S=﹣t2+t+4；②當(dāng)t＞8時(shí)， S=t2﹣t﹣4；③t=8時(shí)，S=0．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)“線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C”推知AB與AC的關(guān)系；

（Ⅱ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=OA=t，由此求出CF的值；

（Ⅲ）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長(zhǎng)度；若點(diǎn)C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據(jù)相似比例式列方程求出t的值；

（Ⅳ）有三種情況，需要分類討論：當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示；當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示；t=8時(shí)．

（Ⅰ）∵如圖，將線段AB的中點(diǎn)繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C，

∵AB=2AC，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．

（2）由題意，易證Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF=OA=t．

當(dāng)t=2時(shí)，CF=1；

（Ⅲ）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴，

∴AF=OB=2，∴FD=AF=2，．

∵點(diǎn)C落在線段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴，

即，

整理 得t2+4t-16=0

解得 t=2-2或t=-2-2（不合題意，舍去）

∴當(dāng)t=2-2時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上．

此時(shí)，CF=t=-1，

OF=t+2=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1+）；

（Ⅳ）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示：

S=BECE=（t+2）（4-t）=-t2+t+4；

②當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示：CE=CF-EF=t-4

S=BECE=（t+2）（t-4）=t2-t-4；

③如答圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，CF=OB=4，可得t=OA=8，此時(shí)S=0．