Question

18．如圖，等邊△ABC的邊長為1，在邊AB上有一點(diǎn)P，Q為BC延長線上的一點(diǎn)，且CQ=PA，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 過P作BC的平行線至AC于F，通過求證△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通過證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=$\frac{1}{2}$AC，即可推出ED的長度．

解答 解：過P做BC的平行線至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等邊△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠Q}\\{∠PDF=∠QDC}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)、定理，認(rèn)真地進(jìn)行計(jì)算．