【題目】如圖,O是平面直角坐標系的原點.在四邊形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于C,A(1,1),B(3,1),動點P從O點出發(fā),沿x軸正方向以2個單位/秒的速度運動.設(shè)P點運動的時間為t秒(0<t<2).
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線的解析式;
(2)過P作PD⊥OA于D,以點P為圓心,PD為半徑作⊙P,⊙P在點P的右側(cè)與x軸交于點Q.
①則P點的坐標為_____,Q點的坐標為_____;(用含t的代數(shù)式表示)
②試求t為何值時,⊙P與四邊形OABC的兩邊同時相切;
③設(shè)△OPD與四邊形OABC重疊的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)解析式.
【答案】 (2t,0) ((2+)t,0)
【解析】分析:(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)①先用含t的代數(shù)式表示出OP,再利用銳角三角函數(shù)表示出PD,進而表示出OQ即可得出結(jié)論;
②分⊙P與AB相切時,⊙P與BC相切時兩種情況,利用直線和圓相切的性質(zhì)建立方程求解即可;
③分0<t≤1,1<t≤,<t<2三種情況,利用幾何圖形的面積公式即可得出結(jié)論.
詳解:(1)因為拋物線經(jīng)過原點O,所以設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx.
又因為拋物線經(jīng)過A(1,1),B(3,1),
所以有解得,
所以拋物線解析式為y=﹣x2+x
(2)①由運動知,OP=2t,
∴P(2t,0),
∵A(1,1),
∴∠AOC=45°,
∵PD⊥OA,
∴PD=OPsin∠AOC=t,
∵PD為半徑作⊙P,⊙P在點P的右側(cè)與x軸交于點Q,
∴PQ=PD=t,
∴OQ=OP+PQ=2t+t=(2+)t
∴Q((2+)t,0),
故答案為(2t,0),((2+)t,0);
②當⊙P與AB相切時, t=1,所以t=;
當⊙P與BC相切時,即點Q與點C重合,所以(2+)t=3,解得t=.
(3)①當0<t≤1,如圖1,重疊部分的面積是S△OPQ,
過點A作AF⊥x軸于點F,
∵A(1,1),
在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,
在Rt△OPQ中,
∴PQ=OQ=2tcos45°=t,
∴S=(t)2=t2,
②當1<t≤,如圖2,設(shè)PQ交AB于點G,
作GH⊥x軸于點H,∠OPQ=∠QOP=45°,
則四邊形OAGP是等腰梯形,PH=GH=AF=1,
重疊部分的面積是S梯形OAGP.
∴AG=FH=OP﹣PH﹣OF=2t﹣2,
∴S=(AG+OP)AF=(2t+2t﹣2)×1=2t﹣1.
③當<t<2,如圖3,設(shè)PQ與AB交于點M,交BC于點N,
重疊部分的面積是S五邊形OAMNC.
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形,
所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B(3,1),OP=2t,
∴CN=PC=OP﹣OC=2t﹣3,
∴BM=BN=1﹣(2t﹣3)=4﹣2t,
∴S=(2+3)×1﹣(4﹣2t)2=﹣2t2+8t﹣.
即:S=.
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【題目】平面直角坐標系xOy中,直線y=x+1與雙曲線的一個交點為P(m,6).
(1)求k的值;
(2)M(2,a),N(n,b)分別是該雙曲線上的兩點,直接寫出當a>b時,n的取值范圍.
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【題目】閱讀材料:解分式不等式<0
解:根據(jù)實數(shù)的除法法則:同號兩數(shù)相除得正數(shù),異號兩數(shù)相除得負數(shù),因此,原不等式可轉(zhuǎn)化為:
①或②
解①得:無解,解②得:﹣2<x<1
所以原不等式的解集是﹣2<x<1
請仿照上述方法解下列分式不等式:(1)>0;(2)<0.
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【題目】下列變形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=兩邊同除以,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移項,得7x=0;
④由方程2﹣兩邊同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
錯誤變形的個數(shù)是( 。﹤.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】如圖,一艘貨輪位于O地,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的正北方向上,這艘貨輪沿正東方向航行50千米,到達B地,此時用雷達測得燈塔A與貨輪的距離為100千米.
(1)在圖中作出燈塔A的位置,并作射線BA;
(2)以正北,正南方向為基準,借助量角器,描述燈塔A在B地的什么方向上(精確到1°)
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【題目】已知平面上四個點.
(1)按下列要求畫圖(不寫畫法)
①連接,;②作直線;③作射線,交于點.
(2)在(1)所畫的圖形中共有__________條線段,__________條射線. (所畫圖形中不能再添加標注其他字母);
(3)通過測量線段,,,可知__________(填“”,“”或“”),可以解釋這一現(xiàn)象的基本事實為:_______________________.
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【題目】如圖是某市民健身廣場的平面示意圖,它是由6個正方形拼成的長方形,已知中間最小的正方形的邊長是1米;
(1)若設(shè)圖中最大正方形的邊長是米,請用含的代數(shù)式分別表示出正方形的邊長
(2)觀察圖形的特點可知,長方形相對的兩邊是相等的(即, )請根據(jù)以上結(jié)論,求出的值
(3)現(xiàn)沿著長方形廣場的四條邊鋪設(shè)下水管道,由甲、乙工程隊單獨鋪設(shè)分別需要10天、15天完成,如果兩隊從同一位置開始,沿相反的方向同時施工2天后,因甲隊另有任務(wù),余下的工程由乙隊單獨施工,還要多少天完成?
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【題目】某校八年級兩個班,各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽.各參賽選手成績的數(shù)據(jù)分析如下表所示,則以下判斷錯誤的是( 。
A. 八(2)班的總分高于八(1)班 B. 八(2)班的成績比八(1)班穩(wěn)定
C. 八(2)班的成績集中在中上游 D. 兩個班的最高分在八(2)班
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