Question

如圖，在⊙O中，∠AOB=120°，PT與⊙O切于T點(diǎn)，A、B、P共線，∠APT的平分線依次交AT、BT于C、D，求證：△ACD∽△CDB．

Answer 1

證明：在△TCD中，∠TCD=∠TAP+∠CPA=∠BTP+∠CPT=∠CDT，
又∵∠ATB=∠AOB=60°，
∴△TCD為等邊三角形，且∠ACD=∠BDC，
∵PT為圓O的切線，
∴==，
∴△ACD∽△CDB．
分析：易證∠TCD=∠TAP+∠CPA=∠BTP+∠CPT=∠CDT，進(jìn)而判定△TCD為等邊三角形，進(jìn)而求證==，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊比值相等可以判定△ACD∽△CPB即可解題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定和等邊三角形各內(nèi)角相等、各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，相似三角形的判定，本題中求證==是解題的關(guān)鍵．