Question

24、如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，連心線O₁O₂交⊙O₁于C、D兩點，直線CA交⊙O₂于點P，直線PD交⊙O₁于點Q，且CP∥QB，求證：AC=AP．

Answer 1

分析：欲證AC=AP，連接AO₁，因為CO₁=DO₁，可以證明AO₁∥DP，通過中位線的性質(zhì)得出；根據(jù)平行線的判斷須證明同位角∠CAO₁=∠P，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)及角相互間的關系能夠解決問題．

解答：證明：連接AO₁．
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，連心線O₁O₂交⊙O₁于C、D兩點，
∴O₁O₂垂直平分AB，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACO₁=∠DQB．
∵AO₁=CO₁，
∴∠ACO₁=∠CAO₁．
∵CP∥BQ，
∴∠P=∠DQB，
∴∠CAO₁=∠P，
∴AO₁∥DP（同位角相等，兩直線平行），
∵CO₁=DO₁，
∴AC=AP．

點評：本題綜合考查了圓與圓的位置關系中線段問題，重點考查了圓周角的性質(zhì)，平行線的判斷，中位線的性質(zhì)．