Question

1．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，易證得∠CAD=∠BDO，繼而證得結(jié)論；
（2）由（1）易證得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得CD的長，再利用勾股定理，求得答案．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
∵AC為⊙O的切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠1=∠BDO，
∴∠1=∠CAD；

（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴CD：CA=CE：CD，
∴CD²=CA•CE，
∵AE=EC=2，
∴AC=AE+EC=4，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
設(shè)⊙O的半徑為x，則OA=OD=x，
則Rt△AOC中，OA²+AC²=OC²，
∴x²+4²=（2$\sqrt{2}$+x）²，
解得：x=$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半徑為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△CAD∽△CDE是解此題的關(guān)鍵．