Question

如圖，△ABC中，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，且BA•BM=BC•BN．
（1）求證：AC⊥BC；
（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=4時(shí)，求AB的值．

Answer 1

（1）證明：連接MN，
∵BN是圓的直徑，
∴∠BMN=90°，
∵BA•BM=BC•BN，
∴BA：BN=BC：BM，
∴△ACB∽△NMB，
∴∠ACB=∠BMN=90°，
∴AC⊥BC；

（2）解：連接OM，則∠OMC=90°，
∵N為OC中點(diǎn)，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×4=8．
分析：（1）連接MN，構(gòu)造一個(gè)直角三角形．即可把證明的線段放到三角形中，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）連接OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得到直角△COM，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到MN等于圓的半徑，從而發(fā)現(xiàn)等邊三角形OMN，再根據(jù)圓周角定理得到∠B=30°，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求得AB的長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接直徑構(gòu)造直角三角形，連接過切點(diǎn)的半徑都是圓中常見的輔助線．熟練運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)能夠發(fā)現(xiàn)等邊三角形，進(jìn)一步運(yùn)用圓周角定理發(fā)現(xiàn)特殊的直角三角形．