【題目】如圖拋物線y=ax2+bx,過點A(4,0)和點B(6,2),四邊形OCBA是平行四邊形,點M(t,0)為x軸正半軸上的點,點N為射線AB上的點,且AN=OM,點D為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式,并直接寫出點D的坐標;

(2)當△AMN的周長最小時,求t的值;

(3)如圖②,過點MMEx軸,交拋物線y=ax2+bx于點E,連接EM,AE,當△AME與△DOC相似時.請直接寫出所有符合條件的點M坐標.

【答案】(1)y=x2x,D的坐標為(2,﹣);(2)t=2;(3)M點的坐標為(2,0)或(6,0).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;利用配方法把一般式化為頂點式得到點D的坐標;

(2)連接AC,如圖①,先計算出AB=4,則判斷平行四邊形OCBA為菱形,再證明AOCACB都是等邊三角形,接著證明OCM≌△ACN得到CM=CN,OCM=ACN,則判斷CMN為等邊三角形得到MN=CM,于是AMN的周長=OA+CM,由于CMOA時,CM的值最小,AMN的周長最小,從而得到t的值;

(3)先利用勾股定理的逆定理證明OCD為直角三角形,∠COD=90°,設(shè)M(t,0),則E(t,t2-t),根據(jù)相似三角形的判定方法,當時,AME∽△COD,即|t-4|:4=|t2-t |:,當時,AME∽△DOC,即|t-4|:=|t2-t |:4,然后分別解絕對值方程可得到對應(yīng)的M點的坐標.

1)把A4,0)和B62)代入y=ax2+bx

,解得

∴拋物線解析式為y=x2-x;

y=x2-x =-2) 2-

∴點D的坐標為(2,-);

2)連接AC,如圖①,

AB==4,

OA=4,

∴平行四邊形OCBA為菱形,

OC=BC=4,

C2,2),

AC==4,

OC=OA=AC=AB=BC,

∴△AOC和△ACB都是等邊三角形,

∴∠AOC=COB=OCA=60°,

OC=ACOM=AN,

∴△OCM≌△ACN,

CM=CN,∠OCM=ACN,

∵∠OCM+ACM=60°

∴∠ACN+ACM=60°,

∴△CMN為等邊三角形,

MN=CM,

∴△AMN的周長=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM,

CMOA時,CM的值最小,△AMN的周長最小,此時OM=2

t=2;

3)∵C22),D2,-),

CD=,

OD=OC=4,

OD2+OC2=CD2,

∴△OCD為直角三角形,∠COD=90°

設(shè)Mt,0),則Et,t2-t),

∵∠AME=COD,

∴當時,△AME∽△COD,即|t-4|4=|t2-t |,

整理得|t2-t|=|t-4|,

解方程t2-t =t-4)得t1=4(舍去),t2=2,此時M點坐標為(2,0);

解方程t2-t =-t-4)得t1=4(舍去),t2=-2(舍去);

時,△AME∽△DOC,即|t-4|=|t2-t |4,整理得|t2-t |=|t-4|,

解方程t2-t =t-4t1=4(舍去),t2=6,此時M點坐標為(60);

解方程t2-t =-t-4)得t1=4(舍去),t2=-6(舍去);

綜上所述,M點的坐標為(20)或(6,0).

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(1)求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù);

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摸球的次數(shù)n

100

200

300

500

800

1000

3000

摸到白球的次數(shù)m

63

124

178

302

488

600

1800

摸到白球的頻率

0.63

0.62

0.593

0.604

0.61

   

   

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2)若從盒子中隨機摸出一個球,則摸到白球的概率P   ;(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

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