Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝12．點(diǎn)E是BC上一動點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，得到△AFE，則當(dāng)AF與ABCD的邊垂直時，BE的長為_____．

Answer 1

【答案】12﹣6或66

【解析】

如圖1，當(dāng)AF⊥BC時，由∠B=60°可得∠BAG=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出BG、AG的長，設(shè)BE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AF=AB，BE=EF，可得FG的長，可用x表示出EG的長，利用勾股定理列方程求出x的值即可；當(dāng)AF⊥AB時，如圖2，過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG＝x，利用∠B的正切值可得EG＝x，由折疊性質(zhì)可證明△AGE是等腰直角三角形，可得AG＝EG，根據(jù)BG+AG=AB列方程可求出x的值，利用∠B的余弦值求出BE的長即可.

如圖1，當(dāng)AF⊥BC時，則∠EGF＝90°，

設(shè)BE＝EF＝x，

在Rt△ABG中，∠B＝60°，AB＝6，

∴∠BAG=30°，

∴BG3，AGAB＝3，

∵將△ABE沿直線AE折疊，得到△AFE，

∴AF＝AB＝6，BE=EF=x，

∴EG＝BG﹣BE＝3﹣x，FG＝AF﹣AG＝6﹣3，

∵EF2﹣EG2＝GF2，

∴，

解得，x＝12﹣6，

即BE＝12﹣6；

當(dāng)AF⊥AB時，如圖2，

過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG＝x，則

EG＝BGtan60°＝x，

∵將△ABE沿直線AE折疊，得到△AFE，∠BAF=90°，

∴∠EAG∠BAF＝45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，

∴AG＝EG＝x，

∵AG+BG＝AB，

∴x+x＝6，

解得，x＝33，

∴BE66，

綜上，BE＝12﹣6或66．

故答案為：12﹣6或66．