【題目】問題背景:我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質:在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,則:AC=AB.
探究結論:小明同學對以上結論作了進一步研究.
(1)如圖1,連接AB邊上中線CE,由于CE=AB,易得結論:①△ACE為等邊三角形;②BE與CE之間的數(shù)量關系為 .
(2)如圖2,點D是邊CB上任意一點,連接AD,作等邊△ADE,且點E在∠ACB的內部,連接BE.試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關系,寫出你的猜想并加以證明.
(3)當點D為邊CB延長線上任意一點時,在(2)條件的基礎上,線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出你的結論 .
拓展應用:如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(﹣,1),點B是x軸正半軸上的一動點,以AB為邊作等邊△ABC,當C點在第一象限內,且B(2,0)時,求C點的坐標.
【答案】(1)EC=EB;(2)ED=EB,理由見解析;(3)ED=EB;拓展應用:C(1,2+).
【解析】
探究結論:(1)只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題;
(2)如圖2中,結論:ED=EB.想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題;
(3)結論不變,證明方法類似;
拓展應用:利用(2)中結論,可得CO=CB,設C(1,n),根據(jù)OC=CB=AB,構建方程即可解決問題.
探究結論(1),如圖1中,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵AC=AB=AE=EB,
∴△ACE是等邊三角形,
∴EC=AE=EB,
故答案為:EC=EB;
(2)如圖2中,結論:ED=EB.
理由:連接PE,
∵△ACP,△ADE都是等邊三角形,
∴AC=AD=DE,AD=AE,∠CAP=∠DAE=60°,
∴∠CAD=∠PAE,
∴△CAD≌△PAE,
∴∠ACD=∠APE=90°,
∴EP⊥AB,∵PA=PB,
∴EA=EB,∵DE=AE,
∴ED=EB;
(3)當點D為邊CB延長線上任意一點時,同法可證:ED=EB,
故答案為:ED=EB;
拓展應用:如圖3中,作AH⊥x軸于H,CF⊥OB于F,連接OA,
∵A(﹣,1),
∴∠AOH=30°,
由(2)可知,CO=CB,
∵CF⊥OB,
∴OF=FB=1,
∴可以假設C(1,n),
∵OC=BC=AB,
∴1+n2=1+(+2)2,
∴n=2+,
∴C(1,2+).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一名足球守門員練習折返跑,從球門線出發(fā),向前記作正數(shù),返回記作負數(shù),他的記錄如下:(單位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10
(1)守門員最后是否回到了球門線的位置?
(2)在練習過程中,守門員離開球門最遠距離是多少米?
(3)守門員全部練習結束后,他共跑了多少米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】化簡求值:
(1)當a=﹣1,b=2時,求代數(shù)式﹣2(ab﹣3b2)﹣[6b2﹣(ab﹣a2)]的值
(2)先化簡,再求值:4xy﹣2(x2﹣3xy+2y2)+3(x2﹣2xy),當(x﹣3)2+|y+1|=0,求式子的值
(3)若(2mx2﹣x+3)﹣(3x2﹣x﹣4)的結果與x的取值無關,求m的值
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點,正比例函數(shù)的圖象與交于點.
(1)求點坐標;
(2)求的表達式;
(3)求和的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】先化簡,再求值:
閱讀材料,大數(shù)學家高斯在上學讀書時曾經(jīng)研究過這樣一個問題:1+2+3+…+100=?經(jīng)過研究,這個問題的一般性結論是1+2+3+…+,其中n是正整數(shù),F(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…=?
觀察下面三個特殊的等式
將這三個等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
讀完這段材料,請你思考后回答:(只需寫出結果,不必寫中間的過程)
(1)
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=
(3)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知O是直線AB上一點,∠BOC<90°,三角板(MON)的直角頂點落在點O處現(xiàn)將三角板繞著點O旋轉,并保持OM和OC在直線AB的同一側.
(1)若∠BOC=50°
①當OM平分∠BOC時,求∠AON的度數(shù).
②當OM在∠BOC內部,且∠AON=3∠COM時,求∠CON的度數(shù):
(2)當∠COM=2∠AON時,請畫出示意圖,猜想∠AOM與∠BOC的數(shù)量關系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,直線與軸,軸分別交于,兩點,其中.
(1)求的值;
(2)若點是直線上的一個動點,當點僅在第一象限內運動時,試寫出的面積與的函數(shù)關系式;
(3)探索:
①在(2)條件下,當點運動到什么位置時,的面積是;
②在①成立的情況下,在軸上是否存在一點,使△是等腰三角形?若存在,請寫出滿足條件的所有點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸相交于點C,連結BC,點P為拋物線上一動點,過點P作x軸的垂線l,交直線BC于點G,交x軸于點E.
(1)求拋物線的表達式;
(2)當P位于y軸右邊的拋物線上運動時,過點C作CF⊥直線l,F(xiàn)為垂足,當點P運動到何處時,以P,C,F(xiàn)為頂點的三角形與△OBC相似?并求出此時點P的坐標;
(3)如圖2,當點P在位于直線BC上方的拋物線上運動時,連結PC,PB,請問△PBC的面積S能否取得最大值?若能,請求出最大面積S,并求出此時點P的坐標,若不能,請說明理由.
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