Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，E是DC上一點(diǎn)，△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合.

（1）指出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；

（2）如果連結(jié)EF，那么△AEF是怎樣的三角形？請說明理由.

（3）已知點(diǎn)G在BC上，且∠GAE=45°.

① 試說明GE=DE+BG.

② 若E是DC的中點(diǎn)，求BG的長.

Answer 1

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)的中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的角度是90°（2）△AEF是等腰直角三角形（3）①證明見解析② BG=

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=90°，然后利用旋轉(zhuǎn)的定義得到當(dāng)△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合時(shí)，可確定旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；

（2）由（1）得到△ADE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與△ABF重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判斷△AEF是等腰直角三角形；

（3）①首先得出AG是線段EF的垂直平分線，進(jìn)而得出DE+GB=BF+BG=GF，即可得出答案；

②首先設(shè)GB=x，則GC=2-x，GE=1+x．在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得1+（2-x）2=（1+x）2，求出x即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴當(dāng)△ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)的中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)的角度是90°；

（2）△AEF是等腰三角形，理由：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與△ABF重合，

∴△ADE≌△ABF，

∴AE=AF，

又∵∠EAF=90°，

∴△AEF是等腰三角形；

（3）①∵ ∠GAE=45°，∠EAF=90°，

∴ AG是∠EAF的平分線，

又∵ AF=AE，

∴ AG是線段EF的垂直平分線，

∴ GE=GF.

∵ DE=BF，

∴ DE+GB=BF+BG=GF，

∴ GE=DE+BG；

② ∵ E是DC的中點(diǎn)，

∴ DE=EC=FB=1，

設(shè)GB=x，則GC=2-x，GE=1+x，

在Rt△ECG中，∠C=90°，由勾股定理，得

1+(2-x)2=(1+x)2，

解這個(gè)方程，得x=，

即：BG=.