【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長是2,EDC上一點(diǎn),△ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合.

1)指出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度;

2)如果連結(jié)EF,那么△AEF是怎樣的三角形?請說明理由.

3已知點(diǎn)GBC上,且∠GAE=45°.

試說明GE=DE+BG.

EDC的中點(diǎn),求BG的長.

【答案】(1)旋轉(zhuǎn)的中心是點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的角度是90°(2)△AEF是等腰直角三角形(3)①證明見解析 BG=

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD,∠BAD=90°,然后利用旋轉(zhuǎn)的定義得到當(dāng)△ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合時,可確定旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度;

(2)由(1)得到△ADE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△ABF重合,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠FAE=90°,AF=AE,由此可判斷△AEF是等腰直角三角形;

(3)①首先得出AG是線段EF的垂直平分線,進(jìn)而得出DE+GB=BF+BG=GF,即可得出答案;

②首先設(shè)GB=x,則GC=2-x,GE=1+x.在Rt△ECG中,∠C=90°,由勾股定理,得1+(2-x)2=(1+x)2,求出x即可.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD為正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∴當(dāng)△ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合時,旋轉(zhuǎn)的中心是點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的角度是90°;

2△AEF是等腰三角形,理由:

四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=90°,

∴△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后與△ABF重合,

∴△ADE≌△ABF,

∴AE=AF

∵∠EAF=90°,

∴△AEF是等腰三角形;

3①∵ ∠GAE=45°,EAF=90°

AGEAF的平分線,

又∵ AF=AE,

AG是線段EF的垂直平分線,

GE=GF.

DE=BF,

DE+GB=BF+BG=GF,

GE=DE+BG

② ∵ EDC的中點(diǎn),

DE=EC=FB=1

設(shè)GB=x,則GC=2-xGE=1+x,

Rt△ECGC=90°,由勾股定理,

1+(2-x)2=(1+x)2,

解這個方程,得x=,

即:BG=.

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