Question

9．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，EF與AB的延長線交于點E，與CD的延長線交于點F．
求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出∠AEO=∠CFO，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC與EF互相垂直平分，進而得出答案．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∵EF⊥AC，OE=OF，
∴AC與EF互相垂直平分，
∴四邊形AECF是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定，正確掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．