Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D在AB的延長線上，CA=CD，∠ACD=120°，BD=10．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質，三角形的內角和與外角的性質，證得∠OCD=90°，即可證得CD是⊙O的切線；
（2）根據直角三角形有一個角是30度，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得OB=BD．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CA=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得：∠OCD=90°，
在直角△OCD中，∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OD=2OB，
∴OB=BD=10，
∴⊙O的半徑是10．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和與外角的性質，直角三角形的性質，切線的判定定理，難度適中．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．