【題目】如圖1,將邊長為1的正方形ABCD壓扁為邊長為1的菱形ABCD.在菱形ABCD中,∠A的大小為α,面積記為S.
(1)請補全表:
α | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° |
S |
| 1 |
|
(2)填空:
由(1)可以發(fā)現單位正方形在壓扁的過程中,菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化,不妨把單位菱形的面積S記為S(α).例如:當α=30°時,S=S(30°)=;當α=135°時,S=S(135°)=.由上表可以得到S(60°)=S( °);S(150°)=S( °),…,由此可以歸納出S(180°﹣α)=( °).
(3)兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置,AD=,∠AOB=α,試探究圖中兩個帶陰影的三角形面積是否相等,并說明理由(注:可以利用(2)中的結論).
【答案】(1)(2)120;30;α(3)兩個帶陰影的三角形面積相等
【解析】
(1)過D作DE⊥AB于點E,當α=45°時,可求得DE,從而可求得菱形的面積S,同理可求當α=60°時S的值,當α=120°時,過D作DF⊥AB交BA的延長線于點F,則可求得DF,可求得S的值,同理當α=135°時S的值;
(2)根據表中所計算出的S的值,可得出答案;
(3)將△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO,將△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.利用(2)中的結論,可求得△AOB和△COD的面積,從而可求得結論.
解:(1)當α=45°時,如圖1,過D作DE⊥AB于點E,
則DE=AD=,
∴S=ABDE=,
同理當α=60°時S=,
當α=120°時,如圖2,過D作DF⊥AB,交BA的延長線于點F,
則∠DAE=60°,
∴DF=AD=,
∴S=ABDF=,
同理當α=150°時,可求得S=,
故表中依次填寫:;;;;
(2)由(1)可知S(60°)=S(120°),
S(150°)=S(30°),
∴S(180°﹣α)=S(α)
故答案為:120;30;α;
(3)兩個帶陰影的三角形面積相等.
證明:如圖3將△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO,將△CDO沿CD翻折得到菱形OCND.
∵∠AOD=∠COB=90°,
∴∠COD+∠AOB=180°,
∴S△AOB=S菱形AMBO=S(α)
S△CDO=S菱形OCND=S(180°﹣α)
由(2)中結論S(α)=S(180°﹣α)
∴S△AOB=S△CDO.
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【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣2,0)、B(x1,0),且1<x1<2,與y軸正半軸的交點在(0,2)的上方,頂點為C.直線y=kx+m(k≠0)經過點C、B.則下列結論:①b>a;②2a﹣b>﹣1;③2a+c<0;④k>a+b;⑤k<﹣1. 其中正確的結論有_________.(填序號)
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【題目】某校七年級組織數學嘉年華活動,共評出三個獎項,年級處購買了一些獎品進行表彰,相關統(tǒng)計結果如下表(不完整)所示:
一等獎 | 二等獎 | 三等獎 | 合計 | |
獲獎人數(單位:人) | 40 | |||
獎品單價(單位:元) | 12 | 9 | 6 | |
獎品金額(單位:元) | 300 |
已知二等獎的獲獎人數比一等獎的獲獎人數多5人.你能根據所給條件,分別求出三種獎項的獲獎人數嗎?請根據你所設的未知數,先填表(代數式不必化簡),再列方程解答.
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【題目】下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:
經觀察可以發(fā)現:圖(2)比圖(1)多出2個“樹枝”,圖(3)比圖(2)多出5個“樹枝”,圖(4)比圖(3)多出10個“樹枝”,照此規(guī)律,圖(7)比圖(6)多出_____個“樹枝”.
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【題目】如圖,△ABC的頂點都在方格線的交點(格點)上.
(1)將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉90°得到△A′B′C′,請在圖中畫出△A′B′C′.
(2)將△ABC向上平移1個單位,再向右平移5個單位得到△A″B″C″,請在圖中畫出△A″B″C″.
(3)若將△ABC繞原點O旋轉180°,A的對應點A1的坐標是 .
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【題目】如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
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【題目】平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(m+1,m-1).
(1)試判斷點P是否在一次函數y=x-2的圖象上,并說明理由;
(2)如圖,一次函數y=-x+3的圖象與x軸、y軸分別相交于A,B,若點P在△AOB的內部,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E,過點D作⊙O的切線DF,交AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在數軸上點A表示數a,點C表示數c,且多項式x3+15x2y2﹣20的常數項是a,最高次項的系數是c.我們把數軸上兩點之間的距離用表示兩點的大寫字母一起標記.比如,點A與點B之間的距離記作AB.
(1)求a,c的值;
(2)動點B從數﹣6對應的點開始向右運動,速度為每秒2個單位長度.同時點A,C在數軸上運動,點A,C的速度分別為每秒3個單位長度,每秒4個單位長度,設運動時間為t秒.
①若點A向右運動,點C向左運動,AB=BC.求t的值;
②若點A向左運動,點C向石運動,2AB﹣mBC的值不隨時間t的變化而改變,求出m的值.
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