Question

【題目】如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．

（1）若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長；

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）D的長為10m；（2）當a≥50時，S的最大值為1250；當0＜a＜50時，S的最大值為50a﹣a2．

【解析】

（1）設(shè)AB=xm，則BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面積公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后計算100﹣2x后與20進行大小比較即可得到AD的長；（2）設(shè)AD=xm，利用矩形面積可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根據(jù)a的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論：當a≥50時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得S的最大值為1250；當0＜a＜50時，則當0＜x≤a時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得S的最大值為50a﹣a

（1）設(shè)AB=xm，則BC=（100﹣2x）m，

根據(jù)題意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，

當x=5時，100﹣2x=90＞20，不合題意舍去；

當x=45時，100﹣2x=10，

答：AD的長為10m；

（2）設(shè)AD=xm，

∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，

當a≥50時，則x=50時，S的最大值為1250；

當0＜a＜50時，則當0＜x≤a時，S隨x的增大而增大，當x=a時，S的最大值為50a﹣a2，

綜上所述，當a≥50時，S的最大值為1250；當0＜a＜50時，S的最大值為50a﹣a2．