Question

（2011•沙洋縣模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2，0），連接OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最��？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A點坐標(biāo)，可得到OA、OB的長，過B作BD⊥x軸于D，由于∠OBD=60°，通過解直角三角形，即可求得B點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、O、B三點坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（3）由于A、O關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若連接BA，那么直線BA與拋物線對稱軸的交點即為所求的C點，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可求出C點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）過B作BD⊥x軸于D
∵A（-2，0），
∴OA=OB=2
Rt△OBD中，∠BOD=60°，OB=2，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1，BD=
故B（1，）；（2分）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-0）（x+2），
代入點B（1，），
得a=，（3分）
因此y=x²+x；（5分）

（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1，
∵A、O兩點關(guān)于直線x=-1對稱，
∴當(dāng)點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小，即△BOC的周長線段AB的長；
設(shè)直線AB為y=kx+b，
所以，
解得，
因此直線AB為y=x+，（7分）
當(dāng)x=-1時，y=，
因此點C的坐標(biāo)為（-1，）．（8分）
點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑等相關(guān)知識，難度適中．