Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，△APQ的周長為2，求∠PCQ．

為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如圖）

（1）△CBE可以看成由△CDQ怎樣運(yùn)動變化得到的？

（2）圖中PQ與PE的長度有什么關(guān)系？為什么？

（3）請用（2）的結(jié)論證明△PCQ≌△PCE；

（4）根據(jù)以上三個問題的啟發(fā)，求∠PCQ的度數(shù)．

（5）對于題目中的點Q，若Q恰好是AD的中點，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的；（2）PE=PQ；（3）證明見解析；（4）45°；（5）

【解析】

（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋轉(zhuǎn)得到的；

（2）由旋轉(zhuǎn)可知△CEB≌△CDQ，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到DQ=BE，由正方形的變成為1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周長為2，可求出PQ=PE；

（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一對對應(yīng)邊相等，再由CP為公共邊，根據(jù)SSS判定△PCQ≌△PCE；

（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度數(shù)是∠DCB度數(shù)的一半，由∠DCB為直角即可求出∠PCQ的度數(shù)；

（5）由Q為AD的中點，根據(jù)正方形的邊長為1，求出DQ與AQ的長，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，從而求出BE的長，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，設(shè)PB為x，用PB+BE表示出PE即為PQ的長，且表示出AP的長，在直角三角形APQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BP的長．

（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的；

（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的邊長為1，

∴AQ=1﹣DQ=1﹣BE，AP=1﹣BP，

又∵AP+AQ+PQ=2，

∴1﹣BE+1﹣BP+PQ=2，即2﹣PE+PQ=2，

∴PE=PQ；

（3）∵△CBE≌△CDQ，

∴QC=EC，

在△PCQ和△PCE中，

，

∴△PCQ≌△PCE（SSS）；

（4）∵△PCQ≌△PCE，

∴∠PCQ=∠PCE，

又∵∠BCE=∠QCD，

∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，

又∵∠DCB=90°，

∴∠PCQ=×90°=45°；

（5）若Q為AD中點，得到DQ=AQ=AD=，

∵△CBE≌△CDQ，∴BE=DQ=，

設(shè)BP=x，則AP=1﹣x，

∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+，

在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理得：PQ2=AQ2+AP2，

即（x+）2=（）2+（1﹣x）2，

化簡得：x2+x+=+1﹣2x+x2，即3x=1，解得x=，

則BP的長為．