Question

【題目】如圖，是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一個動點，由向運動（不與重合），是延長線上一動點，與點同時以相同的速度由向延長線方向運動（不與重合）

（1）當時，求的長．

（2）過作于點，連結交于，在點的運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？若不變，求出的長度；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）DE長度不變，且恒為1.5.

【解析】

（1）作PF∥BC交AC于F，先證明△APF為等邊三角形，然后進一步得出△PFD與△QCD全等，最后進一步利用直角三角形性質求解即可；

（2）作QF⊥AC交AC的延長線于F，連接QF、PF，根據題意可知AP=CQ，進一步證明△APE與△CQF全等以及四邊形PEQF為平行四邊形，據此進一步求解即可.

（1）作PF∥BC交AC于F，如圖1所示，

∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF為等邊三角形，

∴AP=AF=PF，

∵Q與點P同時出發(fā)，速度也相同，

∴AP=CQ，

∴PF=CQ，

在△PFD與△QCD中，

∵∠FPD=∠CQD，PF=QC，∠PFD=∠QCD，

∴△PFD≌△QCD，

∴FD=CD，

∵，

∴∠APD=90°，

∵∠A=60°，

∴∠PDA=30°，

∴AD=2AP，

∴AD=2AF，

∵AF+FD=2AF

∴FD=AF，

∴AF=FD=CD，

∴AF=AC，

∵AC=3，

∴AP=AF=1；

（2）DE長度不變，理由如下：

如圖2所示，作QF⊥AC交AC的延長線于F，連接QF、PF，

∵，QF⊥AC,

∴∠DFQ=∠AEP=90°，PE∥QF，

∵點P、Q速度相同，

∴AP=CQ，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠FCQ=60°，

∴∠A=∠FCQ，

在△APE與△CQF中，

∵∠CFQ=∠AEP=90°，

∴∠APE=∠CQF，

在△APE與△CQF中，

∵∠AEP=∠CFQ，∠A=∠FCQ，AP=CQ，

∴△APE≌△CQF，

∴AE=CF，PE=QF，

∴四邊形PEQF為平行四邊形，

∴DE=EF，

∵AC=EC+AE=CE+CF=EF，

∴DE=AC，

∵AC=3，

∴DE=1.5.

∴DE長度不變，且恒為1.5.