Question

如圖1，已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接AC，點(diǎn)P在線段AC的上方且是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段PM的長(zhǎng)為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)PM的長(zhǎng)d達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)E在直線BP上，點(diǎn)F在拋物線上，當(dāng)以P、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出滿足要求的t值，并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y_{最大（�。┲�}=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入拋物線y=-x²+2x+3可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）令y=0，則：-x²+2x+3=0，解方程得到A（-1，0），D（3，0），再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AC的解析式，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到d與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)最值公式得到d有最大值時(shí)的t值，進(jìn)一步得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-x²+2x+3，令x=0，y=3，
∴B（0，3）
又∵BC∥x軸，
∴令y=3，則-x²+2x+3=3，
解得x₁=0（舍），x₂=2，
∴C（2，3）；

（2）令y=0，則：-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），D（3，0），
設(shè)AC的解析式為y=kx+b
則

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1            
∵P（t，-t²+2t+3），M（t，t+1）
∴d=y_p-y_m=-t²+2t+3-（t+1）
∴d=-t²+t+2；                                

（3）∵a=-1＜0，
∴d有最大值，
當(dāng)t=-

b

2a

=-

1

2×(-1)

=

1

2

時(shí)，d最大，
如圖：點(diǎn)E的坐標(biāo)為：E₁（-3，-

3

2

），E₂（4，9）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行線的性質(zhì)，方程思想，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式；最值公式，平行四邊形的性質(zhì)．