Question

A．某中學(xué)師生在勞動(dòng)基地活動(dòng)時(shí)，看到木工師傅在材料邊角處畫直角時(shí)，用了一種“三弧法”．方法是：
①畫線段AB，分別以A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧相交于C；
②以C為圓心，仍以AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AC的延長(zhǎng)線于D；
③連接DB．則∠ABD就是直角．
（1）請(qǐng)你就∠ABD是直角作出合理解釋；
（2）現(xiàn)有一長(zhǎng)方形木塊的殘留部分如圖，其中AB，CD整齊且平行，BC，AD是參差不齊的毛邊．請(qǐng)你在毛邊附近用尺規(guī)畫一條與AB，CD都垂直的邊（不寫作法，保留作圖痕跡）；

B．如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并選擇其中一對(duì)給予證明；
（2）圖中有無相似三角形？若有，請(qǐng)寫出一對(duì)；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

A題解：（1）解法一：由作圖知，AB=BC=CD=AB，∴BC=AD
根據(jù)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，
那么這個(gè)三角形是直角三角形，
這條邊所對(duì)的角就是直角，即∠ABD是直角．
解法二：由作圖知，AC=BC=CD=AB，
所以△ABC為等邊三角形．△BCD為等腰三角形，
∠1=∠2=∠3=60°，∠4=∠5，∠3=∠4+∠5=60°，∠5=30°，
∴∠ABD=90度．
（本題說明方法較多，只要合理均可給分）

（2）如圖所示．

B題解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．
證明：∵CE⊥BD，∴△CED是Rt△．
∵∠BDC=60°，∴∠ECD=30度．
∴CD=2DE．
∵CD=2DA，∴DE=DA．

（2）有．△ADE∽△AEC．
分析：A（1）在連接BC后，由作圖過程可知，AC=BC=AB=CD所以∠1=∠2，∠4=∠5，又∠1+∠2+∠5+∠4=2（∠2+∠5）=180°所以∠ABD=90°
（2）作圖過程可以參照（1），解釋相同．
B（1）因?yàn)镃E和BD垂直，且∠BDC=60°，所以∠ECD=30°，所以ED=CD，又CD=2DA，所以DE=DA．∠DAE=∠DEA=30°，CE=EA
又∠DAB=45°，∴∠ABD=∠CDB-∠BAD=15°，所以BE=AE．
（2）△ADE∽△AEC，又（1）知，∠EAD=DEA=∠ACE，所以△ADE∽△AEC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角的作法，以及相似三角形的判定，難易程度適中．