Question

如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱(chēng)為“接近度”、在研究“接近度”時(shí)，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等、
（1）設(shè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為m°，將正n邊形的“接近度”定義為|180-m|、于是，|180-m|越小，該正n邊形就越接近于圓，
①若n=20，則該正n邊形的“接近度”等于

 

；
②當(dāng)“接近度”等于

 

時(shí)，正n邊形就成了圓．
（2）設(shè)一個(gè)正n邊形的半徑（即正n邊形外接圓的半徑）為R，邊心距（即正n邊形的中心到各邊的距離）為r，將正n邊形的“接近度”定義為|R-r|，于是|R-r|越小，正n邊形就越接近于圓；你認(rèn)為這種說(shuō)法是否合理？若不合理，請(qǐng)給出正n邊形“接近度”的一個(gè)合理定義．

Answer 1

分析：（1）①首先求出正20邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)m，然后求出|180-m|即可；
②由正n邊形的“接近度”的定義，可知當(dāng)“接近度”等于0時(shí)，正n邊形就成了圓．
（2）由于正n邊形的半徑R，邊心距r都與此正n邊形的邊長(zhǎng)有關(guān)，故將正n邊形的“接近度”定義為|R-r|，不合理，舉反例說(shuō)明；然后給出正n邊形“接近度”的一個(gè)合理定義，答案不唯一．

解答：解：（1）①∵正20邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)m=

(20-2)×180

20

=162°，
∴|180-m|=18；
②當(dāng)“接近度”等于0時(shí)，正n邊形就成了圓．

（2）不合理．例如，對(duì)兩個(gè)相似而不全等的正n邊形來(lái)說(shuō)，它們接近于圓的程度是相同的，但|R-r|卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為|

r

R

-1|、|

r

R

-1|越小，正n邊形越接近于圓；|

r

R

-1|越大，正n邊形與圓的形狀差異越大；當(dāng)

r

R

=1時(shí)，正n邊形就變成了圓．

點(diǎn)評(píng)：本題題型較為新穎，有一定難度．考查了學(xué)生讀題、做題的能力，通過(guò)此題的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力．