Question

已知：如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，且AD是BD與DC的比例中項．求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

證明：∵AD是BD與DC的比例中項，
∴AD²=BD•DC，
∴，
∵AD是△ABC的邊BC上的高，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形．
分析：由AD是BD與DC的比例中項，根據(jù)比例中項的性質(zhì)，即可得AD²=BD•BC，∠B=∠B，可知△ABD∽△CAD，由AD是△ABC的邊BC上的高，則可求得∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．