Question

9．如圖，已知⊙O的半徑為6，M是⊙O外一點(diǎn)，且OM=12，過M的直線與⊙O交于A、B，點(diǎn)A、B關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，AD與BC交于點(diǎn)P，則OP的長為（　�。�

• A． 4
• B． 3.5
• C． 3
• D． 2.5

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC，MO交于點(diǎn)N，連接OA，OC，根據(jù)對(duì)稱性得到MN⊥AC且AN=CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APN=∠CPN=∠BPM，根據(jù)垂徑定理得到∠AON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC，由圓周角得到∠AON=∠ABC，推出△AOP∽△MOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖所示，連接AC，與MO交于點(diǎn)N，連接OA，OC，
根據(jù)對(duì)稱性可知：MN⊥AC且AN=CN，
∴點(diǎn)P在MN上；則AP=CP，
∴∠APN=∠CPN，∴∠BPM=∠APO，
根據(jù)垂徑定理知：∠AON=∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC，
又∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC（同弧圓周角是圓心角的一半），
∴∠AON=∠ABC，
∵∠AON=180°-（∠OAM+∠AMO），∠ABC=180°-（∠BPM+∠AMO），
∴∠OAM=∠BPM，∴∠OAM=∠APO．又∠AOP=∠MOA，
∵△AOP∽△MOA，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OA}{OM}$；即$\frac{OP}{6}$=$\frac{6}{12}$，
解得：OP=3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．