Question

如圖，已知：BD=CE=AF，DE=DF=EF，△DEF為正三角形．求證：△ABC為正三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：利用反證法，先假設(shè)△ABC中有兩邊相等，可證明△ABC為等邊三角形，再假設(shè)△ABC中各邊不相等，可證明假設(shè)不成立，即可△ABC為等邊三角形．

解答：證明：如果AB．BC．AC有兩條邊AB．AC相等，則AE=BD，BF=AD，ED=DF；
在△AFD和△BDE中，

BE=AD   FD=DE   BD=AF

∴△AFD≌△BDE（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等邊三角形；
若∠A、∠B、∠C各不相等，
則這個(gè)三角形中至少有一個(gè)角大于60°，一個(gè)角小于60°，
設(shè)∠A＞60°，∠B＜60°，
在BA及延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)P、Q，使得∠DPE=60°，∠AQF=60°，
∵∠ADE+∠FDE+∠EDP=180°，
且△DPE的內(nèi)角和為180°，
∴∠DPE=∠FDE=60°，
∴∠DEP=∠ADF，
在△QDF和△PED中，

∠DQF=∠EPD   QDF=∠DEP   DE=DF

∴△QDF≌△PED（AAS），
∴DQ=PE，
∵∠BPE為鈍角，
∴BE＞PE，
∴AD=BE＞DQ顯然不成立，
∴△ABC必為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；本題運(yùn)用反證法證明是解題的關(guān)鍵．