Question

如圖，已知直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b為常數(shù)）與y軸、x軸分別交于A點、B點，雙曲線C：y=

3

x

（x＞0）．

（1）當k=-1，b=2

3

時，求直線l與雙曲線C公共點的坐標；
（2）當b=2

-3k

時，求證：不論k為任何小于零的實數(shù)，直線l與雙曲線C只有一個公共點（設為P），并求公共點P的坐標（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的條件下，試猜想線段PA、PB是否相等．若相等，請加以證明；若不相等，請說明理由；
②若直線l與雙曲線C相交于兩點P₁、P₂，猜想并證明P₁A與P₂B之間的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)代入消元法，可得方程組的解，可得交點的坐標；
（2）根據(jù)聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)代入消元法，可的一元二次方程，根據(jù)判別式，可得答案；
（3）①根據(jù)函數(shù)與自變量的關系，可得A、B點坐標，根據(jù)兩點間距離公式，可得答案；
②根據(jù)函數(shù)與自變量的關系，可得A、B點坐標，根據(jù)聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)代入消元法，可得方程組的解，可得交點的坐標，根據(jù)兩點間距離公式，可得答案．

解答：解：（1）聯(lián)立l與C得

y=-x+2 3 ① y= 3 x ②

，
①-②，得-x+2

3

-

3

x

=0
化簡，得x²-2

3

x+3=0
解得x₁=x₂=

3

，y₁=y₂=

3

，
直線l與雙曲線C公共點的坐標為（

3

，

3

）；
（2）證明：聯(lián)立l與C得

y=kx+2 -3k ① y= 3 x ②

，
①-②，得
kx+2

-3k

-

3

x

=0，
化簡，得
kx²+2

-3k

x-3=0，
a=k，b=2

-3k

，c=-3，
△=b²-4ac=（2

-3k

）²-4k×（-3）=12k-12k=0，
∴kx²+2

-3k

x-3=0只有相等兩實根，即不論k為任何小于零的實數(shù)，直線l與雙曲線C只有一個公共點；
x=-

-3k

k

，y=

-3k

，
即P（-

-3k

k

，

-3k

）
（3）①PA=PB，理由如下：
y=kx+b當x=0時，y=b，即A（0，b）；
當y=0時，x=-

b

k

，即B（-

b

k

，0），
P（-

-3k

k

，

-3k

），
PA=

( - -3k k )2+( -3 )2

，
PB=

( -3k k )2+( -3k )2

，
∴PA=PB．
②P₁A=P₂B，理由如下：
y=kx+b當x=0時，y=b，即A（0，b）；
當y=0時，x=-

b

k

，即B（-

b

k

，0），
聯(lián)立l與C得

y=kx+b① y= 3 x ②

，
①-②，得
kx+b-

3

x

=0，
化簡，得
kx²+bx-3=0，
解得P₁（

-b+ b2+12k

2k

，

b+ b2+12b

2

）P₂（

-b- b2+12b

2k

，

b- b2+12k

2

）
P₁A²=（

-b+ b2+12k

2k

）²+（

-b+ b2+12b

2

）²，P₂B²=（

b- b2+12k

2k

）²+（

b- b2+12k

2

）²，
∴P₁A²=P₂B²，
∴P₁A=P₂B．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用了代入消元法解方程組；（2）利用了一元二次方程的根的判別式；（3）利用了函數(shù)與自變量的關系，兩點間距離公式．