Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CD切⊙O于點C，AD⊥CD，垂足為D．
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）若將直線CD向上平移，交⊙O于C₁、C₂兩點，其它條件不變，可得到圖2所示的圖形，試探索AC₁、AC₂、AB、AD之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）把直線C₁D繼續(xù)向上平移，使弦C₁C₂與直徑AB相交（交點不與A、B重合），其它條件不變，請你在圖3中畫出變化后的圖形，標好相應(yīng)字母，并試著寫出與（2）相應(yīng)的結(jié)論，判斷你的結(jié)論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）連接BC，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明△ACD∽△ABC即可；
（2）根據(jù)（1）的思路，只需把四條線段放到兩個三角形△ADC₂和△AC₁B中，證明兩個三角形相似，即可得到線段之間的關(guān)系；
（3）畫出正確圖形后，同樣把線段放到兩個三角形中，通過證明三角形相似得到結(jié)論．

解答：（1）證明：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°（1分）
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC（2分）
又∵CD切⊙O于C
∴∠ACD=∠B
∴△ACD∽△ABC（3分）
∴

AB

AC

=

AC

AD

∴AC²=AB•AD；（4分）

（2）解：關(guān)系：AC₁•AC₂=AB•AD．（5分）
理由是：連接BC₁，
∵四邊形ABC₁C₂是圓內(nèi)接四邊形
∴∠AC₂D=∠B（6分）
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
∴△ADC₂∽△AC₁B（7分）
∴

AB

AC2

=

AC1

AD

∴AC₁•AC₂=AB•AD；（8分）

（3）解：如右圖，（9分）
結(jié)論是：AC₁•AC₂=AB•AD，
證明：連接BC₁，
同（1）有∠ADC₂=∠AC₁B
又∵∠C₂=∠B（10分）
∴△ADC₂∽△AC₁B（11分）
∴

AB

AC2

=

AC1

AD

∴AC₁•AC₂=AB•AD．（12分）

點評：綜合運用了圓周角定理及其推論和弦切角定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．注意解決一題多變的方法，思路一般大體相同．