Question

當x=20時，一個關于x的二次三項式的值等于694，若該二次三項式的各項系數及常數項都是絕對值小于10的整數，求滿足條件的所有二次三項式．

Answer 1

考點：多項式,不等式的性質,解一元一次不等式組

專題：

分析：設滿足條件的二次三項式為ax²+bx+c（a、b、c都是常數，且abc≠0），先把x=20代入，得400a+20b+c=694，將其變形，得出400a=694-（20b-c）．再根據二次三項式的各項系數及常數項都是絕對值小于10的整數，運用不等式的性質，分別求出a、b、c的值，從而得出結果．

解答：解：設滿足條件的二次三項式為ax²+bx+c（a、b、c都是常數，且abc≠0）．
∵x=20，ax²+bx+c=694，
∴400a+20b+c=694．    ①
∴400a=694-（20b+c）．
∵-10＜b＜10，-10＜c＜10，
∴-210＜20b+c＜210，
∴484＜400a＜904，
∴1.21＜a＜2.26．
又∵a是整數，
∴a=2．
將a=2代入①，得20b+c=-106．   ②
于是，20b=-106-c，
又-10＜c＜10，
∴-116＜20b＜-96，
∴-5.8＜b＜-4.8，
又∵b為整數，
∴b=-5．
將b=-5代入②，得c=-6．
將x=20代入2x²-5x-6，得其值為694．
∴滿足條件的二次三項式只有2x²-5x-6．

點評：本題利用不等式的性質考查了一元一次不等式組的解法及多項式的有關內容．難度較大，屬于競賽題型．