Question

已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，P是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：PB=3PF；
（2）如果AC的長(zhǎng)為13，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建中位線來(lái)求解，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BF，交AC于E；則DE、PF分別是△CBF、△ADE的中位線，可根據(jù)BP、PF與DE的比例關(guān)系求出BP、PF的比例關(guān)系．
（2）由（1）可知：E、F是AC的三等分點(diǎn)，由此可得出AF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BF，交AC于E，
因?yàn)锳B=AC，AD為△ABC的高，
所以根據(jù)等腰三角形的三線合一得D為BC的中點(diǎn)，
所以DE=

1

2

BF．
同理，因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)
所以PF=

1

2

DE，即PF=

1

4

BF，所以BP=3PF．

（2）由（1）得：PF、DE分別是DE、BF的中位線，
∴AF=EF，CE=EF．
∴AC=AF+EF+CE=3AF．
∵AC=13，
∴AF=

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和中位線定理，通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)建與所求線段相關(guān)的中位線是解題的關(guān)鍵．