【題目】如圖,已知OMON,垂足為O,點A、B分別是射線OM、ON上的一點(O點除外).

1)如圖①,射線AC平分∠OAB,是否存在點C,使得BC所在的直線也平分以B為頂點的某一個角αα180°),若存在,則∠ACB   ;

2)如圖②,P為平面上一點(O點除外),∠APB90°,且OAAP,分別畫∠OAP、∠OBP的平分線AD、BE,交BP、OA于點D、E,試簡要說明ADBE的理由;

3)在(2)的條件下,隨著P點在平面內(nèi)運動,ADBE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化?請利用圖③畫圖探究,如果不變,直接回答;如果變化,畫出圖形并直接寫出AD、BE位置關(guān)系.

【答案】(1)存在;45°135°;(2)詳見解析;(3)點P一直在以AB為直徑的圓上,當(dāng)P在直徑AB的上方時,如圖2,有ADBE,當(dāng)P在直徑AB的下方時,如圖3,有ADBE,

【解析】

1)分兩種情況討論:先根據(jù)垂直的定義可得:∠AOB90°,再根據(jù)角平分線的定義得:∠ABC+BAC(∠ABO+BAO)=45°,由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論;根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義,可得結(jié)論;

2)證明∠OAD=∠OEB,可得:ADBE

3)先根據(jù)∠AOB=∠APB90°,證明O、A、P、B四點共圓,即點P一直在以AB為直徑的圓上,通過畫圖可知:當(dāng)P在直徑AB的上方時,如圖2,有ADBE,當(dāng)P在直徑AB的下方時,如圖3,有ADBE

解:(1)存在,

有兩種情況:①當(dāng)BC平分∠ABO時,如圖1,

∵∠AOB90°

∴∠BAO+ABO90°,

AC平分∠BAO,BC平分∠ABO

∴∠BAC,∠ABCABO

∴∠BAC+ABC(∠BAO+ABO)=45°,

∴∠ACB180°45°135°;

②如下圖,當(dāng)CB平分∠ABN時,

∵∠ABN90°+BAO

AC平分∠BAO

2ABE90°+2CAB,

∴∠ABE45°+CAB

∴∠ACB=∠ABE﹣∠CAB45°,

綜上,∠ACB的度數(shù)為45°135°;

故答案為:45°135°

2)如圖2,∵∠AOB=∠P90°

∴∠OAP+OBP180°,

OAP+OBP90°

AD平分∠OAP,BE平分∠OBP,

∴∠OADOAP90°,∠OBEOBP,

∵∠OBE+OEB90°,

∴∠OEB90°﹣∠OBE90°OBP

∴∠OAD=∠OEB,

ADBE;

3)∵∠AOB=∠APB90°,

∴點P一直在以AB為直徑的圓上,

當(dāng)P在直徑AB的上方時,如圖2,有ADBE,

當(dāng)P在直徑AB的下方時,如圖3,有ADBE,

理由是:∵∠OAP=∠OBP

AD平分∠OAP,BE平分∠OBP,

∴∠PADOAP,∠DBEOBP,

∴∠PAD=∠DBE,

∵∠ADP=∠BDG

∴∠APB=∠AGB,

ADBE

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