Question

如圖，點(diǎn)M（

3

2

，0）為Rt△OED斜邊上的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠ODE=90°，過(guò)D作AB⊥DM交x軸的正半軸于A點(diǎn)，交y軸的正半軸于B點(diǎn)，且sin∠OAB=

3

5

（1）求：過(guò)E、D、O三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式．
（2）問(wèn)此拋物線頂點(diǎn)C是否在直線AB上，請(qǐng)予以證明；若頂點(diǎn)不在AB上，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）試在y軸上作出點(diǎn)P，使PC+PE為最小，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫作法和證明）

Answer 1

分析：（1）作DH⊥x軸于H，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和sin∠OAB=

3

5

，求出D點(diǎn)坐標(biāo)和E點(diǎn)坐標(biāo)，又知拋物線過(guò)點(diǎn)O，可設(shè)出二次函數(shù)一般式解答；
（2）求出拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線解析式，將頂點(diǎn)C代入直線解析式看是否成立；
（3）作出E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE'與y軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，存在點(diǎn)P使PC+PE’最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)PC+PE最小．

解答：解：作DH⊥x軸于H．
（1）∵點(diǎn)M（

3

2

，0）為Rt△OED斜邊上的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得OM=ME=DM=

3

2

，
∴OE=

3

2

×2=3，
得E（3，0）．
∵AB⊥DM，sin∠OAB=

3

5

，
∴在Rt△ADM中，AM=

3 2

sin∠OAB

=

3 2

3 5

=

5

2

．
根據(jù)勾股定理，AD=2，于是在Rt△DHA中，HD=2×sin∠OAB=2×

3

5

=

6

5

，
根據(jù)勾股定理，AH=

22- 36 25

=

8

5

，OH=4-

8

5

=

12

5

．
于是D點(diǎn)坐標(biāo)為（

12

5

，

6

5

）．
∵拋物線過(guò)E（3，0）、D（

12

5

，

6

5

）、O（0，0）三點(diǎn)，
∴設(shè)解析式為y=ax²+bx．
將各點(diǎn)代入解析式得：

9a+3b=0 144 25 a+ 12 5 b= 6 5

，
解得a=-

5

6

，b=

5

2

，
解析式為y=-

5

6

x²+

5

2

x．

（2）∵DA=2，DM=

3

2

，
∴根據(jù)勾股定理得，AM=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，MO=

3

2

，
∴AO=

3

2

+

5

2

=

8

2

=4，
∴得A（4，0）．因?yàn)橹本�過(guò)A（4，0）、D（

12

5

，

6

5

）兩點(diǎn)，
設(shè)解析式為y=kx+b，
將A（4，0）、D（

12

5

，

6

5

）代入得

4k+b=0 12 5 k+b= 6 5

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
直線解析式為y=-

3

4

x+3．
由（1）知拋物線解析式為y=-

5

6

x²+

5

2

x，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-

5 2

2×(- 5 6 )

=

2

3

，y=

-( 5 2 )2

4×(- 5 6 )

=

15

8

，
即C（

3

2

，

15

8

），
代入直線AB的解析式得，-

3

4

×（

3

2

）+3=

15

8

，故頂點(diǎn)在AB上；

（3）作出E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
則E‘點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），直線CE′的解析式為y=kx+b，
將C（

3

2

，

15

8

）、E‘（-3，0）代入解析式
得，

-3k+b=0 3 2 k+b= 15 8

，
解得

k= 5 12 b= 5 4

，
解析式為y=

5

12

x+

5

4

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

5

4

，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題將直角三角形的性質(zhì)和直線、拋物線相結(jié)合，巧妙利用了坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，求出所需坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，利用解析式，其它問(wèn)題便可迎刃而解．