【題目】在平面直角坐標系中,點A的坐標是(0,6),點B的坐標是(6,0).
(1)如圖1,點C的坐標是(﹣2,0),BD⊥AC于D交y軸于點E.求點E的坐標;
(2)在(1)的條件下求證:OD平分∠CDB;
(3)如圖2,點F為AB中點,點G為x正半軸點B右側一動點,過點F作FG的垂線FH,交y軸的負半軸于點H,那么當點G的位置不斷變化時,S△AFH﹣S△FBG的值是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變化,請求出相應結果.
【答案】(1)點E的坐標為(0,2);(2)詳見解析;(3)S△AFH﹣S△FEG=9不發(fā)生變化,理由詳見解析.
【解析】
(1)易得OA=OB,由∠ACO+∠CAO=90°,∠BCD+∠CBE=90°,可得∠CAO=∠CBE,可證得△AOC≌△BOE,可得OE=OC,可得E點左邊;
(2)過點O作OM⊥BD于M,ON⊥AC于N,由△AOC≌△BOE,可得S△AOC=S△BOE,由AC=BE,可得OM=ON,所以點O一定在∠CDB的角平分線上,即OD平分∠CDB;
(3))S△AFH﹣S△FEG=9不發(fā)生變化,理由如下:連接OF,可證得△FOH≌△FBG,可得
S△AOC=S△BOE,可得S△AFH﹣S△FBG=S△AFH﹣S△FOH=S△FOA==9.
解:(1)∵x軸⊥y軸
∴∠AOC=∠BOE=90°
∴∠ACO+∠CAO=90°
∵BD⊥AC
∴∠BCD+∠CBE=90°
∴∠CAO=∠CBE,
∵點A,B的坐標分別為(0,6),(6,0)
∴OA=OB=6,
在△AOC和△BOE中
∴△AOC≌△BOE(ASA)
∴OE=OC,
∵點C的坐標為(﹣2,0)
∴OC=OE=2
∴點E的坐標為(0,2)
(2)過點O作OM⊥BD于M,ON⊥AC于N
∵△AOC≌△BOE
∴S△AOC=S△BOE,AC=BE,
∴ACON=BCOM
∴OM=ON,
∴點O一定在∠CDB的角平分線上
即OD平分∠CDB;
(3)S△AFH﹣S△FEG=9不發(fā)生變化,理由如下:
連接OF
∵△AOB是等腰直角三角形且點F為AB的中點
∴OF⊥AB,OF=FB,OF平分∠AOB
∴∠OFB=∠OFH+∠HFB=90°
又∵FG⊥FH
∴∠HFG=∠BFG+∠HFB=90°
∴∠OFH=∠BFG
∵∠FOB=
∴∠FOH=∠FOB+∠HOB=45°+90°=135°
又∵∠FBG=180°﹣∠ABO=180°﹣45°=135°
∴∠FOH=∠FBG
在△FOH和△FBG中
∴△FOH≌△FBG(ASA)
∴S△AOC=S△BOE
∴S△AFH﹣S△FBG
=S△AFH﹣S△FOH
=S△FOA=.
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【題目】某校九年級數學興趣小組為了測得該校地下停車場的限高CD,在課外活動時間測得下列數據:如圖,從地面E點測得地下停車場的俯角為30°,斜坡AE的長為16米,地面B點(與E點在同一個水平線)距停車場頂部C點(A、C、B在同一條直線上且與水平線垂直)1.2米.試求該校地下停車場的高度AC及限高CD(結果精確到0.1米).
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【題目】如圖,已知△ABC中, 厘米, 厘米,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.當點Q的運動速度為_______ 厘米/秒時,能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等.
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【題目】如圖,點A、B在雙曲線y= (x<0)上,連接OA、AB,以OA、AB為邊作OABC.若點C恰落在雙曲線y= (x>0)上,此時OABC的面積為 .
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【題目】【提出問題】如圖1,小東將一張AD為12,寬AB為4的長方形紙片按如下方式進行折疊:在紙片的一邊BC上分別取點P、Q,使得BP=CQ,連結AP、DQ,將△ABP、△DCQ分別沿AP、DQ折疊得△APM,△DQN,連結MN.小東發(fā)現線段MN的位置和長度隨著點P、Q的位置發(fā)生改變.
(1)【規(guī)律探索】請在圖1中過點M,N分別畫ME⊥BC于點E,NF⊥BC于點F.
求證:①ME=NF;②MN∥BC.
(2)【解決問題】如圖1,若BP=3,求線段MN的長;
(3)如圖2,當點P與點Q重合時,求MN的長.
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【題目】如圖,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE交于O,連結AO,則圖中共有全等三角形的對數為( )
A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,AD⊥BC于點D,以D為圓心DC為半徑作⊙D交AD于點G,過點G作⊙D的切線交AB于點F,且F恰好為AB中點.
(1)求tan∠ACD的值.
(2)連結CG并延長交AB于點H,若AH=2,求AC的長.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AD=5,點E、F是正方形ABCD內的兩點,且AE=FC=3,BE=DF=4,則EF的長為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】閱讀理解:李華是一個勤奮好學的學生,他常常通過書籍、網絡等渠道主動學習各種知識.下面是他從網絡搜到的兩位數乘11的速算法,其口訣是:“頭尼一拉,中間相加,滿十進一”.例如:①.計算過程:兩數拉開,中間相加,即,最后結果;②.計算過程:兩數分開,中間相加,即,滿十進一,最后結果.
(1)計算:① , ②_____ ;
(2)若某一個兩位數十位數字是,個位數字是,將這個兩位數乘,得到一個三位數,則根據上述的方法可得,該三位數百位數字是____,十位數字是_____, 個位數字是_____ ; ( 用含的化數式表示)
(3)請你結合(2)利用所學的知識解釋其中原理.
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