【題目】折紙與證明﹣﹣﹣用紙折出黃金分割點:
第一步:如圖(1),先將一張正方形紙片ABCD對折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的對角線BF.
第二步:如圖(2),將AB邊折到BF上,得到折痕BG,試說明點G為線段AD的黃金分割點(AG>GD)
【答案】見解析
【解析】
連接GF,設(shè)正方形的邊長為1,由折紙第一步,可知DF=,在Rt△BCF中,根據(jù)勾股定理得出BF=,則A′F=﹣1.設(shè)AG=A'G=x,則GD=1﹣x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,根據(jù)勾股定理由GF不變得出A′F2+A′G2=DF2+DG2,列出關(guān)于x的方程,解方程求出x=,即可說明點G是AD的黃金分割點.
如圖,連接GF,設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則DF=.
在Rt△BCF中,BF==,
則A′F=BF﹣BA′=﹣1.
設(shè)AG=A′G=x,則GD=1﹣x,
在Rt△A′GF和Rt△DGF中,有A'F2+A'G2=DF2+DG2,
即,
解得x=,
即點G是AD的黃金分割點(AG>GD).
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中:①ac>0;②a+b+c<0;③4a﹣2b+c<0;④2a+b<0;⑤4ac﹣b2<4a;⑥a+b>0中,其中正確的個數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=12,點E在邊BC上,BE=EC,將△DCE沿DE對折至△DFE,延長EF交邊AB于點G,連接DG、BF,給出下列結(jié)論:①△DAG≌△DFG;②BG=2AG;③△EBF∽△DEG;④S△BEF=.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,E為AD的中點,EF⊥EC交AB于F(AB>AE).問:△AEF與△EFC是否相似?若相似,證明你的結(jié)論;若不相似,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=1,E為AB上任意一動點,以CE為斜邊作等腰Rt△CDE,連結(jié)AD,下列說法:①∠BCE=∠ACD;②△ACD∽△BCE;③△AED∽△ECB;④AD∥BC;⑤四邊形ABCD的面積有最大值,且最大值為.其中正確的結(jié)論是_________.
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【題目】如圖,Rt△ABC的直角邊BC在x軸負半軸上,斜邊AC上的中線BD的反向延長線交y軸負半軸于點E,反比例函數(shù)y=﹣(x<0)的圖象過點A,則△BEC的面積是_____.
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【題目】平面直角坐標系xOy中,橫坐標為a的點A在反比例函數(shù)y1=(x>0)的圖象上.點A與點A關(guān)于點O對稱,一次函數(shù)y2=mx+n的圖象經(jīng)過點A.
(1)設(shè)a=2,點B(4,2)在函數(shù)y1,y2的圖象上.
①分別求函數(shù)y1,y2的表達式;
②直接寫出使y1>y2>0成立的x的范圍.
(2)如圖,設(shè)函數(shù)y1,y2的圖象相交于點B,點B的橫坐標為3a,△AA′B的面積為16,求k的值.
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【題目】(10分)一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如圖1,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB、AC上.
(1)求證:△AEF∽△ABC;
(2)求這個正方形零件的邊長;
(3)如果把它加工成矩形零件如圖2,問這個矩形的最大面積是多少?
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【題目】為緩解交通擁堵,某區(qū)擬計劃修建一地下通道,該通道一部分的截面如圖所示(圖中地面AD與通道BC平行,通道水平寬度BC為8米,∠BCD=135°,通道斜面CD的長為6米,通道斜面AB的坡度i=1:.
(1)求通道斜面AB的長;
(2)為增加市民行走的舒適度,擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩,修改后的通道斜面DE的坡角為30°,求此時BE的長.
(答案均精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈2.24,≈2.45)
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