如圖,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點,且交y軸于點C,對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)在拋物線上是否存在一點N,使得|MN﹣ON|的值最大?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)連接PB,請?zhí)骄浚涸趻佄锞上是否存在一點Q,使得△QMB與△PMB的面積相等?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,可得N在直線OM上,根據(jù)解方程組,可得答案;
(3)根據(jù)平行線間的距離相等,可得過P點平行BC的直線,根據(jù)解方程組,可得Q點坐標(biāo),再根據(jù)BC向下平移BC與l1相距的單位,可得l2,根據(jù)解方程組,可得答案.
【解答】解:(1)將A、B兩點代入解析式,得
,
解得.
故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3
(2)存在點N使得|MN﹣ON|的值最大.過程如下:
如圖1:
作直線OM交拋物線于兩點,則兩交點即為N點,
y=﹣x2+2x+3的對稱軸為x=1.
設(shè)BC的解析式為y=kx+b,將B(3,0),C(0,3)代入函數(shù)解析式,得
,解得,
BC的解析式為y=﹣x+3,
當(dāng)x=1時,y=2,即M(1,2).
設(shè)直線OM的解析式為y=kx,將M(1,2)代入函數(shù)解析式,得
k=2.
直線OM的解析式為y=2x.
聯(lián)立拋物線與直線OM的解析式,可得
解得:,
∴存在點N,其坐標(biāo)為N1(,2),N2(﹣,﹣2)
(3)如圖2:
,
由題意可得:P(1,4),直線BC的解析式為y=﹣x+3
∵S△QMB=S△PMB,
∴點Q在過點P且平行于BC的直線l1上,設(shè)其交點為Q1;或在BC的下方且平行于BC的直線l2上,設(shè)其交點為Q2,Q3,
∴設(shè)l1的解析式為y=﹣x+b
把點P的坐標(biāo)代入可得:b=5
∴設(shè)l1的解析式為y=﹣x+5
聯(lián)立得
解得:(不符合題意,舍),,
∴Q1(2,3).
根據(jù)對稱性可求得直線l2的解析式為y=﹣x+1
聯(lián)立得
解得,
∴Q2(,),Q3(,),
綜上所述,滿足條件的點Q共有3個,其坐標(biāo)分別為Q1(2,3),Q2(,),Q3(,).
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式;利用同一條直線上兩線段的差最大得出N在直線OM上是解題關(guān)鍵;利用平行線間的距離相等得出Q在過P點平行于BC的直線上是解題關(guān)鍵,注意BC下方距的距離是BC與l1相距的單位l2上存在符合條件的點,以防遺漏.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
當(dāng)x=﹣2時,代數(shù)式x3﹣2tx2+(1﹣t)x+t﹣1的值是﹣6,求當(dāng)x=時該代數(shù)式的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知拋物線y=﹣ax2+2ax+3a(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)請直接寫出A、B兩點的坐標(biāo).
(2)當(dāng)a=,設(shè)直線AC與拋物線的對稱軸交于點P,請求出△ABP的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
情境:
試根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)購買6根跳繩需付 元,購買12根跳繩需付 元;
(2)小紅比小明多買2根,付款時小紅反而比小明少5元.你認為有這種可能嗎?若有,請求出小紅購買跳繩的根數(shù);若沒有,請說明理由.
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