Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且交y軸于點C，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）在拋物線上是否存在一點N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）連接PB，請?zhí)骄浚涸趻佄锞�上是否存在一點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

　

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得N在直線OM上，根據(jù)解方程組，可得答案；

（3）根據(jù)平行線間的距離相等，可得過P點平行BC的直線，根據(jù)解方程組，可得Q點坐標(biāo)，再根據(jù)BC向下平移BC與l₁相距的單位，可得l₂，根據(jù)解方程組，可得答案．

【解答】解：（1）將A、B兩點代入解析式，得

，

解得．

故拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3

（2）存在點N使得|MN﹣ON|的值最大．過程如下：

如圖1：

作直線OM交拋物線于兩點，則兩交點即為N點，

y=﹣x²+2x+3的對稱軸為x=1．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入函數(shù)解析式，得

，解得，

BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時，y=2，即M（1，2）．

設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將M（1，2）代入函數(shù)解析式，得

k=2．

直線OM的解析式為y=2x．

聯(lián)立拋物線與直線OM的解析式，可得

解得：，

∴存在點N，其坐標(biāo)為N₁（，2），N₂（﹣，﹣2）

（3）如圖2：

，

由題意可得：P（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3

∵S_△QMB=S_△PMB，

∴點Q在過點P且平行于BC的直線l₁上，設(shè)其交點為Q₁；或在BC的下方且平行于BC的直線l₂上，設(shè)其交點為Q₂，Q₃，

∴設(shè)l₁的解析式為y=﹣x+b

把點P的坐標(biāo)代入可得：b=5

∴設(shè)l₁的解析式為y=﹣x+5

聯(lián)立得

解得：（不符合題意，舍），，

∴Q₁（2，3）．

根據(jù)對稱性可求得直線l₂的解析式為y=﹣x+1

聯(lián)立得

解得，

∴Q₂（，），Q₃（，），

綜上所述，滿足條件的點Q共有3個，其坐標(biāo)分別為Q₁（2，3），Q₂（，），Q₃（，）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用同一條直線上兩線段的差最大得出N在直線OM上是解題關(guān)鍵；利用平行線間的距離相等得出Q在過P點平行于BC的直線上是解題關(guān)鍵，注意BC下方距的距離是BC與l₁相距的單位l₂上存在符合條件的點，以防遺漏．