Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函數y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經過線段OC的中點A，交DC于點E，交BC于點F．設直線EF的解析式為y=k₂x+b．
（1）求反比例函數和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請直接寫出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由點B、D的坐標結合矩形的性質即可得出點C的坐標，由中點的性質即可得出點A的坐標，再結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出k值，由此即可得出反比例函數解析式；由點F的橫坐標、點E的縱坐標結合反比例函數解析式即可得出點E、F的坐標，再由點E、F的坐標利用待定系數法即可求出直線EF的解析式；
（2）通過分割圖形并利用三角形的面積公式即可求出結論；
（3）觀察函數圖象，根據兩函數圖象的上下關系結合交點坐標即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵點A為線段OC的中點，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0），得：k₁=6，
∴反比例函數為y=$\frac{6}{x}$，
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=1，則F點的坐標為（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得4=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{3}{2}$，則E點的坐標為（$\frac{3}{2}$，4）．
把F（6，1）、E（$\frac{3}{2}$，4）代入y=k₂x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{k}_{2}+b=4}\\{6{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$得：k₂=-$\frac{2}{3}$，b=5，
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+5；

（2）過點E作EG⊥OB于點G
∵點E、F都在反比例函數圖象上
∴S_△EOG=S_△OBF，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG，
∵E（$\frac{3}{2}$，4），F（6，1），
∴EG=4，FB=1，BG=$\frac{9}{2}$，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG=$\frac{1}{2}$（1+4）×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{4}$；
（3）不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0，可變形為-$\frac{2}{3}$x+5＜$\frac{6}{x}$．
觀察函數圖象可發(fā)現：
當0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6時，一次函數y=-$\frac{2}{3}$x+5的圖象在反比例函數y=$\frac{6}{x}$的圖象的下方，
∴-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＜0的解集為：0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6．

點評 本題考查了矩形的性質、反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式以及三角形的面積公式，本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，求出點的坐標，再結合點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．