Question

【題目】如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)不定的正方形ABCD，它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在邊長(zhǎng)為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），則正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】 ≤a≤3﹣
【解析】解：①當(dāng)正方形ABCD的對(duì)角線AC在正六邊形一組平行的對(duì)邊的中點(diǎn)上時(shí)，
正方形邊長(zhǎng)a的值最小，AC是正方形的對(duì)角線，
∴AC=A′D= ，
∴a= ，
②當(dāng)正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)a的值最大，AC是正方形的對(duì)角線AC，

設(shè)A′（t， ）時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ，t），

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ，﹣ ），
∴ ，
∴ ，
∴直線MN的解析式為y=﹣ x﹣ ，
將B′（﹣ ，t）代入得t= ﹣ ，
此時(shí)，A′B′取最大值，
∴a= =3﹣ ，
∴正方形邊長(zhǎng)a的取值范圍是： ≤a≤3﹣ ，
故答案為： ≤a≤3﹣ ．
①當(dāng)正方形ABCD的對(duì)角線AC在正六邊形一組平行的對(duì)邊的中點(diǎn)上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)a的值最小，AC是正方形的對(duì)角線，先利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)a；②當(dāng)正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，正方形邊長(zhǎng)a的值最大，AC是正方形的對(duì)角線AC，設(shè)點(diǎn)設(shè)A′（t， ）時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)最大，根據(jù)OB′⊥OA′，表示出點(diǎn)B′（﹣ ，t），從而可得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，求出直線MN的函數(shù)解析式，再將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入直線MN的函數(shù)解析式，求出t的值，然后利用勾股定理求出a的值，即可得到a的取值范圍。