Question

【題目】如圖，正五邊形ABCDE中．

（1）AC與BE相交于P，求證：四邊形PEDC為菱形；
（2）延長DC、AE交于M點，連BM交CE于N，求證：CN=EP；
（3）若正五邊形邊長為2，直接寫出AD的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBE=72°，
∴∠DCB+∠CBE=180°，
∴CD∥BE，
同法可證，AC∥DE，
∴∴四邊形PEDC是平行四邊形，
∵CD=DE，
∴四邊形PEDC是菱形
（2）證明：如圖2中，連接AN．

∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分線段AC，
∴NC=NA，
∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，
∵∠PAE=∠NEA=72°，
∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴AN=PE，
∴CN=PE
（3） +1
【解析】（3）解：如圖3中．在AD上取一點W，使得AW=WE．設(shè)AW=x．

∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AWAD，
∴22=x（x+2），
解得x= ﹣1，
∴AD=2+x= +1，
故答案為 +1
（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCB和∠CBE的度數(shù)，就可證明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可證AC∥ED，由此根據(jù)菱形的判定即可證明。
（2）如圖2中，連接AN，先根據(jù)MC=MA，BC=BA得出BM垂直平分線段AC，得出CN=AN，再證明△PAE≌△NEA，即可解決問題。
（3）如圖3中．在AD上取一點W，使得AW=WE．設(shè)AW=x，相聚已知條件證明△AWE∽△AED，可得AE2=AWAD，構(gòu)建方程即可解決問題。