Question

已知：二次函數y=x²-4x+a，下列說法中錯誤的個數是（ ）
①若圖象與x軸有交點，則a≤4；
②若該拋物線的頂點在直線y=2x上，則a的值為-8；
③當a=3時，不等式x²-4x+a＞0的解集是1＜x＜3；
④若將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后過點（1，-2），則a=-3；
⑤若拋物線與x軸有兩個交點，橫坐標分別為x₁、x₂，則當x取x₁+x₂時的函數值與x取0時的函數值相等．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①根據二次函數與圖象與x軸交點的關系，利用根的判別式解答即可；
②求出二次函數定點的表達式，代入直線解析式即可求出a的值；
③將a=3代入不等式，即可求其解集；
④將解析式化為頂點式，利用解析式平移的規(guī)律解答；
⑤利用根與系數的關系將x₁+x₂的值代入解析式進行計算即可．
解答：解：①∵圖象與x軸有交點，則△=16-4×1×a≥0，解得a≤4；故本選項正確；
②∵二次函數y=x²-4x-a的頂點坐標為（2，a-4），代入y=2x得，a-4=2×2，a=8，故本選項錯誤；
③當a=3時，y=x²-4x+3，圖象與x軸交點坐標為：（1，0），（3，0），
故不等式x²-4x+a＞0的解集是：x＜1或x＞3，故本選項錯誤；
④將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后解析式為：y=（x+1）²+a-3，
∵圖象過點（1，-2），∴將此點代入得：-2=（1+1）²+a-3，解得：a=-3，故本選項正確；
⑤由根與系數的關系，x₁+x₂=4，
當x=4時，y=16-16+a=a，
當x=0時，y=a，故本選項正確．
故選：B．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點、根與系數的關系、二次函數圖象與幾何變換、待定系數法求二次函數解析式、二次函數與不等式（組）等知識，綜合性較強．