Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．作DE⊥AC交邊AB或BC于點(diǎn)E，以DE為邊向右作正方形DEFG．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求AC的長．
（2）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示線段DE的長．
（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，求t的值．
（4）設(shè)正方形DEFG與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm²），當(dāng)重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ABC中，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長即可；
（2）分兩種情況考慮：如圖1所示，過B作BH垂直于AC，利用三角形面積公式求出BH的長，由三角形AED與三角形ABH相似，得比例表示出DE即可；如圖2所示，同理得到三角形CED與三角形CBH相似，由相似得比例表示出DE即可；
（3）如圖3所示，由AD+DG+GC=10，求出t的值；
（4）如圖1所示，重疊部分為正方形EFGD，表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式；如圖2所示，重疊部分為三角形EDC面積減去三角形CGM，表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
根據(jù)勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm；
（2）分兩種情況考慮：如圖1所示，

過B作BH⊥AC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BH，
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABH，
∴$\frac{AD}{AH}$=$\frac{ED}{BH}$，即$\frac{t}{\frac{18}{5}}$=$\frac{DE}{\frac{24}{5}}$，
解得：DE=$\frac{4}{3}$t，
則當(dāng)0≤t≤$\frac{18}{5}$時(shí)，DE=$\frac{4}{3}$t；
如圖2所示，

同理得到△CED∽△CBH，
∴$\frac{DE}{BH}$=$\frac{CD}{CH}$，即$\frac{DE}{\frac{24}{5}}$=$\frac{10-t}{\frac{32}{5}}$，
解得：DE=$\frac{3}{4}$（10-t）=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{2}$，
則當(dāng)$\frac{18}{5}$＜t≤10時(shí)，DE=$\frac{3}{4}$（10-t）=-$\frac{3}{4}$t+$\frac{15}{2}$；
（3）如圖3所示，

由題意，得AD+DG+GC=10，即t+$\frac{4}{3}$t+$\frac{4}{3}$t×$\frac{4}{3}$=10，
解得：t=$\frac{90}{37}$；
（4）如圖1所示，當(dāng)0＜t≤$\frac{90}{37}$時(shí)，S=（$\frac{4}{3}$t）²=$\frac{16}{9}$t²；
如圖2所示，當(dāng)$\frac{18}{5}$≤t＜10時(shí)，S=[$\frac{3}{4}$（10-t）]²-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$（10-t）×$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{4}$（10-t）=$\frac{45}{128}$（10-t）²．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．