Question

（2010•石景山區(qū)一模）我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2﹕1．請(qǐng)你用此性質(zhì)解決下面的問(wèn)題．
已知：如圖，點(diǎn)O為等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直線m過(guò)點(diǎn)O，過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F．
（1）當(dāng)直線m與BC平行時(shí)（如圖1），請(qǐng)你猜想線段BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
（2）當(dāng)直線m繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)AO交BC于M點(diǎn)，由O為等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO；再通過(guò)證明BCFE為矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，過(guò)G做GH⊥EF于H，由重心可得AO=2MO；再通過(guò)證明△AOD∽△GOH得AD=2HG；然后證得H為EF的中點(diǎn)，據(jù)中位線定理HG=（EB+CF），即可得AD=EB+CF；
（3）圖3不成立，CF-BE=AD．
解答：（1）猜想：BE+CF=AD（1分）
證明：如圖，延長(zhǎng)AO交BC于M點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為等腰直角三角形ABC的重心
∴AO=2OM且AM⊥BC
又∵EF∥BC∴AM⊥EF
∵BE⊥EF，CF⊥EF
∴EB∥OM∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD．（3分）

（2）圖2結(jié)論：BE+CF=AD
證明：連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，
過(guò)G做GH⊥EF于H，
由重心性質(zhì)可得AO=2OG，
∵∠ADO=∠OHG=90°，∠AOD=∠HOG，
∴△AOD∽△GOH，
∴AD=2HG，（5分）
∵O為重心，
∴G為BC中點(diǎn)，
∵GH⊥EF，BE⊥EF，CF⊥EF，
∴EB∥HG∥CF，
∴H為EF中點(diǎn)，
∴HG=（EB+CF），
∴EB+CF=AD（7分）

（3）CF-BE=AD．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形相似的判定及性質(zhì)，涉及到中位線定理、重心的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．