【題目】已知,四邊形ABCD是正方形,點P在直線BC上,點G在直線AD上(P、G不與正方形頂點重合,且在CD的同側),PD=PGDFPG于點H,交直線AB于點F,將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE,連結EF

1)如圖1,當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時.

①求證:DG=2PC;

②求證:四邊形PEFD是菱形;

2)如圖2,當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時,請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.

【答案】1①證明見解析;②證明見解析;(2)四邊形PEFD是菱形.理由見解析.

【解析】試題分析:1①作PMDGM,根據(jù)等腰三角形的性質由PD=PGMG=MD,根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形,則PC=MD,于是有DG=2PC

②根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉的性質得∠EPG=90°PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DFPG得到DFPE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形;

2)與(1)中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形.

試題解析:(1①作PMDGM,如圖1

PD=PG,

MG=MD

∵四邊形ABCD為矩形,

PCDM為矩形,

PC=MD,

DG=2PC

②∵四邊形ABCD為正方形,

AD=AB

∵四邊形ABPM為矩形,

AB=PM,

AD=PM

DFPG,

∴∠DHG=90°,

∴∠GDH+DGH=90°,

∵∠MGP+MPG=90°,

∴∠GDH=MPG,

ADFMPG, ,

∴△ADF≌△MPGASA),

DF=PG

PD=PG,

DF=PD,

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE

∴∠EPG=90°,PE=PG

PE=PD=DF,

DFPG

DFPE,

DFPE,且DF=PE

∴四邊形PEFD為平行四邊形,

DF=PD,

∴四邊形PEFD為菱形;

2)解:四邊形PEFD是菱形.理由如下:

PMDGM,如圖2,

與(1)一樣同理可證得ADF≌△MPG,

DF=PG,

PD=PG

DF=PD,

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE

∴∠EPG=90°,PE=PG,

PE=PD=DF

DFPG,

DFPE,

DFPE,且DF=PE,

∴四邊形PEFD為平行四邊形,

DF=PD,

∴四邊形PEFD為菱形.

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