Question

如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與軸交于點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若P為線段BD上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)F是第一象限拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)F作FQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為           時，四邊形FQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為            時，四邊形FQAC是等腰梯形(直接寫出結(jié)果，不寫求解過程)．

 

Answer 1

【答案】

（1），（1，4）；(2) ； (3)，（）；(4) （2，3）；（）.

【解析】

試題分析：（1）拋物線的解析式為：,將點(diǎn)C(0，3)代入即可求出拋物線的解析式，再化成頂點(diǎn)式從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)D.

(2)先求出直線BD的解析式為，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：.

(3)用割補(bǔ)法求出，再配成頂點(diǎn)式，∵，∴當(dāng)時，四邊形PMAC的面積取得最大值為

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

(4)四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時，需要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)：①當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖1所示．構(gòu)造全等三角形求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=1對稱的特點(diǎn)，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線段之間的三角函數(shù)關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

                 

答圖1                                              答圖2

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，

∴可設(shè)拋物線的解析式為：

又∵拋物線 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，

∴

∴

∴

即拋物線的解析式為：

∴

∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）設(shè)直線BD的解析式為：

由B（3，0），D（1，4）得

解得

∴直線BD的解析式為

∵點(diǎn)P在直線PD上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：

（3）由（1），（2）知：

OA=1，OC=3，OM=m，PM=

∴

∵，∴當(dāng)時，四邊形PMAC的面積取得最大值為.

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.

（4）（2，3）；（）.

考點(diǎn):二次函數(shù)及其應(yīng)用