Question

如圖所示，矩形ABCD，AB＞AD，E在AD上，將△ABE沿BE折疊后，A點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)F．
（1）用尺規(guī)作出E、F；
（2）若AE=5，DE=3，求折痕BE的長(zhǎng)；
（3）試判斷四邊形ABFE是否一定有內(nèi)切圓．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意作圖即可；
（2）在△DEF中利用勾股定理可求得DF的長(zhǎng)，證明Rt△ADF∽R(shí)t△BAE，利用相似三角形的性質(zhì)可求得BF的長(zhǎng)，在△BEF中利用勾股定理可求得BE的長(zhǎng)；
（3）假設(shè)四邊形ABFE有內(nèi)切圓，則圓心必在BE上．求出內(nèi)切圓半徑即可作出判斷．
解答：解：（1）作法：①作BF=BA交CD于F．
②連BF作∠ABF的平分線，則點(diǎn)E、F為所求．

（2）連接EF
由條件知：Rt△ABE≌Rt△FBE
∴EF=AE
又∵AE=5，DE=3，∠D=90°
∴
又∵BE⊥AF
∴Rt△ADF∽R(shí)t△BAE
∴
∴
∴；

（3）假設(shè)四邊形ABFE有內(nèi)切圓，則圓心必在BE上．
設(shè)圓心為點(diǎn)I，內(nèi)切圓半徑為r，△BMI∽△BAE，
，
則有
∴，符合題意，
∴此四邊形ABFE一定有內(nèi)切圓．
點(diǎn)評(píng)：考查了翻折變換（折疊問題），圖形對(duì)折的問題一定要注意，折疊的圖形與折疊后的圖形全等，此題還考查了勾股定理的應(yīng)用和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．