Question

14．△ABC中，∠A=60°，BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，CF與BE相交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，若∠ACB=90°，求證：BF+CE=BC；
（2）如圖2，若∠ABC與∠ACB是任意角度，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）在BC上找到D，使得BF=BD，根據(jù)SAS易證△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，進(jìn)而得出∠COE=∠COD=60°，即可證明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根據(jù)BC=BD+CD即可得出結(jié)論；
（2）在BC上找到D，使得BF=BD，易證△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，進(jìn)而得出∠COE=∠COD=60°，即可證明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根據(jù)BC=BD+CD即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在BC上找到D，使得BF=BD，
∵∠A=60°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∵BE，CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠FBO=∠CBO=15°，∠ECO=∠BCO=45°，
∴△BOC中，∠BOC=120°，
∴∠BOF=∠COE=60°，
由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得
△BOD≌△BOF（SAS），
∴∠BOD=∠BOF=60°，
∴∠COD=180°-60°-60°=60°，
∴∠COD=∠COE，
由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得
∴△OCE≌△OCD（ASA），
∴CE=CD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=BF+CE．

（2）結(jié)論BC=BF+CE仍成立．
在BC上找到D，使得BF=BD，
∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分線，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=120°，∠ECO=∠BCO，
∴∠BOF=∠COE=60°，
由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得
△BOD≌△BOF（SAS），
∴∠BOD=∠BOF=60°，
∴∠COD=180°-60°-60°=60°，
∴∠COD=∠COE，
由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得
∴△OCE≌△OCD（ASA），
∴CE=CD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=BF+CE．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，本題中兩次判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．