Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，將∠CAB繞點A旋轉，得到∠C′AB′，射線AC′交直線BC于點E，射線AB′交直線BC于點F，當EF=10時，CF=

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：分類討論

分析：分類討論：
當將∠CAB繞點A逆時針α得到∠C′AB′，如圖1，設CE=x，則CF=EF+CE=10+x，根據旋轉的性質得∠CAE=∠BAF=α，則∠CAF=45°+α，根據正切的定義，在Rt△ACE中有tanα=

CE

AC

=

x

6

，在Rt△ACF中有tan（45°+α）=

CF

AC

=

x+10

6

，再利用三角函數公式得tan（45°+α）=

tan45°+tanα

1-tan45°•tanα

，
所以

1+ x 6

1-1• x 6

=

x+10

6

，整理得x²+10x-24=0，然后解方程可得CE=2；
當將∠CAB繞點A順時針α得到∠C′AB′，如圖2，設CE=x，則CF=CE-EF=x-10，根據旋轉的性質得∠CAE=α，∠B′AC′=∠BAC=45°，則∠CAF=α-45°，再根據正切的定義，在Rt△ACE中有tanα=

CE

AC

=

x

6

，在Rt△ACF中有tan（α-45°）=

CF

AC

=

x-10

6

，然后利用三角函數公式得到tan（α-45°）=

tanα-tan45°

1+tanα•tan45°

，則

x 6 -1

1+1• x 6

=

x-10

6

，整理得x²-10x-24=0，再解方程即可得到CE=12．

解答：解：當將∠CAB繞點A逆時針α得到∠C′AB′，如圖1，
設CE=x，則CF=EF+CE=10+x，
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴∠ABC=45°，
∵∠CAB繞點A逆時針α得到∠C′AB′，
∴∠CAE=∠BAF=α，
∴∠CAF=45°+α，
在Rt△ACE中，tanα=

CE

AC

=

x

6

，
在Rt△ACF中，tan（45°+α）=

CF

AC

=

x+10

6

，
∵tan（45°+α）=

tan45°+tanα

1-tan45°•tanα

，
∴

1+ x 6

1-1• x 6

=

x+10

6

，
整理得x²+10x-24=0，解得x₁=2，x₂=-12（舍去），
∴CE=2；
（2）當將∠CAB繞點A順時針α得到∠C′AB′，如圖2，
設CE=x，則CF=CE-EF=x-10
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAB繞點A逆時針α得到∠C′AB′，
∴∠CAE=α，∠B′AC′=∠BAC=45°，
∴∠CAF=α-45°，
在Rt△ACE中，tanα=

CE

AC

=

x

6

，
在Rt△ACF中，tan（α-45°）=

CF

AC

=

x-10

6

，
∵tan（α-45°）=

tanα-tan45°

1+tanα•tan45°

，
∴

x 6 -1

1+1• x 6

=

x-10

6

，
整理得x²-10x-24=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=12，
∴CE=12，
綜上所述，CE的長為2或12．
故答案為2或12．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了三角函數公式．