【題目】如圖已知點A (﹣2,4)和點B (1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述拋物線,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,若四邊形A A′B′B為菱形,求平移后拋物線的表達式;
(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點為點C,試在x軸上找點D,使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標,將它們代入拋物線的解析式中,即可求得m、n的值.
(2)根據(jù)A、B的坐標,易求得AB的長;根據(jù)平移的性質知:四邊形AA′B′B一定為平行四邊形,若四邊形AA′B′B為菱形,那么必須滿足AB=BB′,由此可確定平移的距離,根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式.
(3)易求得直線AB′的解析式,聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸,可得到C點的坐標,進而可求出AB、BC、AC、B′C的長;在(2)題中已經(jīng)證得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′對應,若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,可分兩種情況考慮:①∠B′CD=∠ABC,此時△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此時△B′DC∽△ABC;
根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段,即可求得不同的BD長,進而可求得D點的坐標.
解:(1)由于拋物線經(jīng)過A (﹣2,4)和點B (1,0),則有:
,解得;
故m=﹣,n=4.
(2)由(1)得:y=﹣x2﹣x+4=﹣(x+1)2+;
由A (﹣2,4)、B (1,0),可得AB==5;
若四邊形A A′B′B為菱形,則AB=BB′=5,即B′(6,0);
故拋物線需向右平移5個單位,即:
y=﹣(x+1﹣5)2+=﹣(x﹣4)2+.
(3)由(2)得:平移后拋物線的對稱軸為:x=4;
∵A(﹣2,4),B′(6,0),
∴直線AB′:y=﹣x+3;
當x=4時,y=1,故C(4,1);
所以:AC=3,B′C=,BC=;
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;
若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,則:
①∠B′CD=∠ABC,則△B′CD∽△ABC,可得:
=,即=,B′D=3,
此時D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,則△B′DC∽△ABC,可得:
=,即=,B′D=,
此時D(,0);
綜上所述,存在符合條件的D點,且坐標為:D(3,0)或(,0).
“點睛”此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識;(3)題中,在相似三角形的對應角和對應邊不確定的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(點A在點B左側),已知A點的縱坐標是2:
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)將直線l1:y=﹣x向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)交于點C,如果△ABC的面積為30,求平移后的直線l2的函數(shù)表達式.
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【題目】把圖中陰影部分的小正方形移動一個,使它與其余四個陰影部分的正方形組成一個既是軸對稱又是中心對稱的新圖形,這樣的移法,正確的是( 。
A. 6→3 B. 7→16 C. 7→8 D. 6→15
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【題目】如圖,旗桿AB的頂端B在夕陽的余輝下落在一個斜坡上的點D處,某校數(shù)學課外興趣小組的同學正在測量旗桿的高度,在旗桿的底部A處測得點D的仰角為15°,AC=10米,又測得∠BDA=45°.已知斜坡CD的坡度為i=1:,求旗桿AB的高度(≈1.7,結果精確到個位).
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【題目】某中學為推動“時刻聽黨話 永遠跟黨走”校園主題教育活動,計劃開展四項活動:A:黨史演講比賽,B:黨史手抄報比賽,C:黨史知識競賽,D:紅色歌詠比賽.校團委對學生最喜歡的一項活動進行調查,隨機抽取了部分學生,并將調查結果繪制成圖1,圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結合圖中信息解答下列問題:
(1)本次共調查了 名學生;
(2)將圖1的統(tǒng)計圖補充完整;
(3)已知在被調查的最喜歡“黨史知識競賽”項目的4個學生中只有1名女生,現(xiàn)從這4名學生中任意抽取2名學生參加該項目比賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=100°,AC=AE,BC=BD,則∠DCE的度數(shù)為
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
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【題目】某校為了解學生對“第二十屆中國哈爾濱冰雪大世界”主題景觀的了解情況,在全體學生中隨機抽取了部分學生進行調查,并把調查結果繪制成如圖的不完整的兩幅統(tǒng)計圖:
(1)本次調查共抽取了多少名學生;
(2)通過計算補全條形圖;
(3)若該學校共有名學生,請你估計該學校選擇“比較了解”項目的學生有多少名?
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【題目】如圖,在菱形紙片ABCD中,AB=4,∠A=60°,將菱形紙片翻折,使點A落在CD的中點E處,折痕為FG,點F、G分別在邊AB、AD上.則sin∠EFG的值為________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置,點B,O分別落在點B1,C1處,點B1在x軸上,再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置,點C2在x軸上,將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進行下去….若點A(3,0),B(0,4),則點B2018的坐標為__________.
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